 Регистрирайте се
Уравнение от 4-та степен с параметър
|
| Предишната тема :: Следващата тема |
| Автор |
Съобщение |
v1rusman
Напреднал
Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318
  
гласове: 10
|
 Пуснато на: Wed Sep 02, 2009 2:08 pm Заглавие: Уравнение от 4-та степен с параметър |
|
|
зад. Намерете всички стойности на параметъра [tex]a[/tex], за които уравнението:
[tex]x^4-ax^3-(2a-1)x^2+ax+1=0[/tex]
има не по - малко от 2 корена, по - големи от 1.
Задачата не е за подценяване, особено с това заплетено условие. |
|
| Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
| Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Wed Sep 02, 2009 3:40 pm Заглавие: |
|
|
| [tex]a\in\left(-4+2\sqrt 7\: ;\: \frac{3}{2}\right)[/tex] ? |
|
| Върнете се в началото |
|
|
v1rusman
Напреднал
Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318
гласове: 10
|
| Пуснато на: Wed Sep 02, 2009 4:20 pm Заглавие: |
|
|
| Да, браво ! Напиши все пак как си стигнал до отговора. Предполагам, че логиката ти ще е различна от моята. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
ганка симеонова
SUPER VIP
Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
гласове: 298
|
| Пуснато на: Wed Sep 02, 2009 5:38 pm Заглавие: |
|
|
Ето и моето решение. Уравнението е възвратно. Делим на [tex]x^2\ne 0 [/tex] и след полагане на [tex]x-\frac{1}{ x} =t [/tex] получаваме
[tex]t^2-at+3-2a=0 [/tex]
Т. к. [tex]t=x-\frac{1}{ x} [/tex] е растяща функция, то при [tex]x>1=>t>0 [/tex]
Следователно искаме уравнението спрямо t да има два различни положителни корена.
=> да е изпълнена системата
[tex]D>0; a>0; 3-2a>0=>a\in (-4+2\sqrt{7} ; \frac{3}{2 } ) [/tex]
заб. Мисля си обаче, че след като е казано, не по- малко от два, това значи най- малко два. Т.е. дискриминантата може и да е 0. Тогава интервалът ще е затворен в левия си край. |
|
| Върнете се в началото |
|
|
martosss
VIP Gold
Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
гласове: 213
|
| Пуснато на: Wed Sep 02, 2009 6:31 pm Заглавие: Re: Уравнение от 4-та степен с параметър |
|
|
| v1rusman написа: | зад. Намерете всички стойности на параметъра [tex]a[/tex], за които уравнението:
[tex]x^4-ax^3-(2a-1)x^2+ax+1=0[/tex]
има не по - малко от 2 корена, по - големи от 1.
Задачата не е за подценяване, особено с това заплетено условие. |
Делим на x²≠0:
[tex]x^2-2x\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+2-a\left(x-\frac{1}{x}\right)-2a+1=0[/tex]
[tex]\left(x-\frac{1}{x}\right)^2-a\left(x+\frac{1}{x}\right)-2a+3=0[/tex]
Полагаме [tex]x-\frac{1}{x}=t\ne 0[/tex]
[tex]x^2-tx-1=0\;\;\; (1)[/tex]
[tex]D=t^2+4\Right x_{1,2}=\frac{t\pm\sqrt{t^2+4}}{2}>1\Right[/tex]
[tex]-\sqrt{t^2+4}>2-t[/tex]
Сега при [tex]t<2[/tex] това неравенство не е изпълнено.
При [tex]t\ge 2[/tex] Имаме
[tex]t-2>\sqrt{t^2-4[/tex]
[tex]t^2-4t+4>t^2+4[/tex]
[tex]t<0[/tex], което противоречи на [tex]t\ge 2[/tex].
Получихме, че [tex]x=\frac{t-\sqrt{t^2+4}}{2}\N {>}1[/tex] за всяко t.
Това означава, че имаме подредба [tex]x_1<1\le x_2[/tex] или [tex]x_1< x_2\le 1[/tex]
Тогава ни трябват поне две стойности за t, в които разположението на корените да е [tex]x_1<1<x_2[/tex]
[tex]\underline{t^2-at-2a+3=0}\;\;\; (2)[/tex]
[tex]D=a^2+8a-12=(a+4-2\sqrt 7)(a+4+2\sqrt 7)[/tex]
От по-горните разсъждения D=0 не ни устройва, така че остава D>0
[tex]D=(a+4+2\sqrt 7)(a+4-2\sqrt{7})>0\Right a\in\left(-\infty\: ;\: -4-2\sqrt{7}\right)\cup \left(-4+2\sqrt 7\: ;\: +\infty \right)[/tex]
[tex]t_{1,2}=\frac{a\pm\sqrt{a^2+8a-12}}{2}[/tex]
За да имаме [tex]x_1<1<x_2[/tex] е нужно да е изпълнено и за двете стойности на [tex]t[/tex] неравенството [tex]f(1)<0\Right 1-t-1<0\Right t>0[/tex]
Получаваме системата
[tex]\begin{tabular}{|1}\frac{a+\sqrt{a^2+8a-12}}{2}>0\\\frac{a-\sqrt{a^2+8a-12}}{2}>0\end{tabular}\Right\begin{tabular}{|1}a>-\sqrt{a^2+8a-12}\\a>\sqrt{a^2+8a-12}\end{tabular}\Right\begin{tabular}{|1}a>0\\a^2>a^2+8a-12\end{tabular}\Right\begin{tabular}{|1}a>0\\a<\frac{3}{2}\end{tabular}[/tex]
Сега понеже [tex]a\in\left(-4+2\sqrt{7}\: ;\: +\infty )[/tex] и [tex]0<-4+2\sqrt{7}<\frac{3}{2}[/tex], то
[tex]a\in\left(-4+2\sqrt{7}\: ;\: \frac{3}{2}\right)[/tex] |
|
| Върнете се в началото |
|
|
|
|
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
|
|
Меню
