Регистрирайте сеРегистрирайте се

Ирационално неравенсто


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
v1rusman
Напреднал


Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318

Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5
гласове: 10

МнениеПуснато на: Tue Sep 01, 2009 9:46 am    Заглавие: Ирационално неравенсто

зад. Решете ирационалното неравенсто:

[tex]\sqrt{2x+4} - 2\sqrt{2-x} > \frac{12x-8}{ \sqrt{9x^2 + 16} } [/tex]

Опитайте с материал до 10. клас включително ( тогава се учат ирационални неравенства ).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Sep 01, 2009 3:21 pm    Заглавие: Re: Ирационално неравенсто

v1rusman написа:
зад. Решете ирационалното неравенсто:

[tex]\sqrt{2x+4} - 2\sqrt{2-x} > \frac{12x-8}{ \sqrt{9x^2 + 16} } [/tex]

От Д.С. имаме [tex]x\in [-2;2][/tex]
От ляво умножаваме и делим на [tex]\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}[/tex] :
[tex]\frac{2x+4-4(2-x)}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}>\frac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}\\\frac{2(3x-2)}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}>\frac{4(3x-2)}{\sqrt{9x^2+16}}\\2(3x-2)\left[\frac{1}{\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x}}-\frac{2}{\sqrt{9x^2+16}}\right]>0\\(3x-2)\left[\frac{\overbrace{\sqrt{9x^2+16}-2\sqrt{2(x+2)}-4\sqrt{2-x}}^{A}}{(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x})*\sqrt{9x^2+16}}\right]>0\backslash *(\sqrt{2x+4}+2\sqrt{2-x})*\sqrt{9x^2+16}\\(3x-2)*A>0[/tex]
Сега разглеждаме А, по-точно кога A=0 :
[tex]\sqrt{9x^2+16}=2\sqrt{2(x+2)}+4\sqrt{2-x}[/tex] повдигаме на квадрат
[tex]9x^2+16=8x+16+32-16x+16\sqrt{2(4-x^2)}\backslash :16\\\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{3}\right)^2-\frac{19}{9}=\underline{\frac{9}{16}x^2+\frac{1}{2}x-2=\sqrt{2(4-x^2)}}(1)[/tex]
[tex]D.S.\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{3}\right)^2-\frac{19}{9}\ge 0\\\frac{3}{4}x+\frac{1}{3}\ge \frac{\sqrt{19}}{3}\cup \frac{3}{4}x+\frac{1}{3}\le -\frac{\sqrt{19}}{3}\\x\ge\frac{4\sqrt{19}-4}{9}\cup x\le \frac{-4-\sqrt{19}}{9}[/tex]
Обаче [tex]{4(\sqrt{19}-1)\over 9}<2[/tex] и [tex]{-4(1+\sqrt{19})\over 9}<-2[/tex]. С това получаваме, че [tex]\fbo{x\in \left[\frac{4(\sqrt{19}-1)}{9}\: ;\: 2\right]}\; (2)[/tex]
Повдигаме на квадрат (1) :
[tex]\left(\frac{9}{16}\right)^2 x^4+\frac{9}{16}x^3\N {-\frac{9}{4}x^2+\frac{1}{4}x^2}-2x+4=8\N{-2x^2}\\\left(\frac{9}{16}\right)^2 x^4+\frac{9}{16}x^3-2x-4=0[/tex]
Комбинираме първо и последно, 2-ро 3-то -
[tex]\left(\frac{9}{16}x^2-2\right)\left(\frac{9}{16}x^2+2\right)+x\left(\frac{9}{16}x^2-2\right)=0\\\left(\frac{9}{16}x^2-2\right)\left(\frac{9}{16}x^2+x+2\right)=0=\left(\frac{9}{16}x^2-2\right)\N{\left(\left(\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}\right)^2+\frac{14}{9}\right)}\\\left(\frac{3}{4}x-\sqrt 2\right)\left(\frac{3}{4}x+\sqrt 2\right)=0[/tex]
[tex]\fbox{x=-\frac{4\sqrt 2}{3}\cup x=\frac{4\sqrt 2}{3}} \; (3)[/tex]
Освен това [tex]\frac{4\sqrt 2}{3}>\frac{4(\sqrt{19}-1)}{9}[/tex]
Сега от (2) и (3) получаваме, че
[tex]2>\frac{4\sqrt{2}}{3}>\frac{4(\sqrt{19}-1)}{9}[/tex]
Сега правим метод на интервалите - x=2/3, [tex]\pm\frac{4\sqrt 2}{3}[/tex] , като имаме ДС (2), откъдето [tex]\red\fbox{x\in \left(\frac{4\sqrt 2}{3}\: ;\: 2\right]}[/tex]



Отделно ако [tex]x\in \left[-2\: ;\: \frac{4(\sqrt{19}-1}{9}\right)[/tex], то A<0, откъдето 3x-2<0 => x<2/3 => [tex]\red\fbox{x\in \left[-2\: ;\: \frac{2}{3}\right)}[/tex]

Окончателно стават двете червенички.
Надявам се да нямам грешки!


Последната промяна е направена от martosss на Tue Sep 01, 2009 7:50 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
v1rusman
Напреднал


Регистриран на: 18 Jul 2007
Мнения: 318

Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5Репутация: 39.5
гласове: 10

МнениеПуснато на: Tue Sep 01, 2009 3:31 pm    Заглавие:

Добре си се справил. Браво !

ПП: Виж какво става при [tex]\frac{2}{ 3} [/tex] и [tex]\frac{4}{3 }\sqrt{2} [/tex]. Не трябва тези решения да се изключат от интервала ?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Sep 01, 2009 7:46 pm    Заглавие:

оу, да, точно така, при тях се нулира Embarassed , а неравенството е строго, така че без тях!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
mkmarinov
Напреднал


Регистриран на: 08 Nov 2008
Мнения: 358
Местожителство: Враца
Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2Репутация: 46.2
гласове: 32

МнениеПуснато на: Tue Sep 01, 2009 10:54 pm    Заглавие:

[tex]\sqrt{2x+4}-\sqrt{8-4x}>\frac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}[/tex]
DM: x [-2;2]
[tex]12x-8=2(\sqrt{2x+4}^2-\sqrt{8-4x}^2)=2(\sqrt{2x+4}-\sqrt{8-4x})(\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x})[/tex]
Сега ще се дели на лявата страна. Очевидно когато тя е нула неравенството, което е нестрого, се превръща в равенство и не е решение.
[tex]x \ne \frac{2}{3}[/tex]
Нека (първи случай) тя е положителна.
----------------------------------
[tex]x \in (\frac{2}{3}; 2][/tex]
[tex]1>\frac{2(\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x})}{\sqrt{9x^2+16}}[/tex]
[tex]2\sqrt{2x+4}+2\sqrt{8-4x}-\sqrt{9x^2+16}<0[/tex]; знаменателят е очевидно положителен.
[tex]4(12-2x+2\sqrt{-8x^2+32})<9x^2+16[/tex]
[tex]8\sqrt{-8x^2+32}<9x^2+16+8x-48[/tex]
[tex]16\sqrt{-2x^2+8}<9x^2+8x-32[/tex]
[tex]-512x^2+2048<81x^4+64x^2+1024+144x^3-576x^2-512x[/tex]
[tex]81x^4+144x^3-512x-1024>0[/tex]
[tex](3x)^4+(3x)^2*16x-512x-1024>0[/tex]
[tex](3x)^2=t[/tex]
[tex]t^2+16x.t-512x-1024>0[/tex]
[tex]D=(8x)^2+2.8x.32+32^2=(8x+32)^2[/tex]
[tex]t_{1,2}=8x\pm(8x+32)[/tex]
[tex]t_1=-32 < 0[/tex]
[tex]t_2=16x+32[/tex]
[tex]t \in (-\infty ; t_1) \cup (t_2 ; +\infty)[/tex], но т>0 и не влиза в първия интервал.
[tex]t > t_2[/tex]
[tex]9x^2-16x-32>0[/tex]
[tex]D=352=22*16=(4\sqrt{22})^2[/tex]
[tex]x \in (-\infty ; \frac{8-4\sqrt{22}}{3}) \cup (\frac{8+4\sqrt{22}}{3}; \infty )[/tex]
Окончателно за случая:
[tex]x \in (\frac{8+4\sqrt{10}}{3}; 2][/tex]
--------------------------------------------
Втори случай; x<2/3:
[tex]2\sqrt{2x+4}+2\sqrt{8-4x}-\sqrt{9x^2+16}>0[/tex]
[tex]4(2x+4+8-4x+2\sqrt{-8x^2+32})>9x^2+16[/tex]
[tex]16\sqrt{-2x^2+8}>9x^2+8x-32[/tex]
За разглежданият интервал лявата страна е положителна, а дясната - отрицателна.
=> [tex]x \in [-2; \frac{2}{3})[/tex] е решение.

Окончателно:
[tex]x \in [-2; \frac{2}{3}) \cup (\frac{8+4\sqrt{10}}{3}; 2][/tex]
(+/- някоя изчислителна грешка)
Видях я... във връщането от полагането е.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Sep 01, 2009 11:38 pm    Заглавие:

Да, интересен подход, лошото е, че и в двете решения има гадни сметки. Интересно дали има решение без сметки... аз пробвах с полагане x=4cos²t-2 , ама става едно кофти у-е, което не мога да реша Crying or Very sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.