Ирационално неравенсто

[v1rusman]

зад. Решете ирационалното неравенсто:

[tex]\sqrt{2x+4} - 2\sqrt{2-x} > \frac{12x-8}{ \sqrt{9x^2 + 16} } [/tex]

Опитайте с материал до 10. клас включително ( тогава се учат ирационални неравенства ).

[Реклама]

[martosss]

[v1rusman]

Добре си се справил. Браво !

ПП: Виж какво става при [tex]\frac{2}{ 3} [/tex] и [tex]\frac{4}{3 }\sqrt{2} [/tex]. Не трябва тези решения да се изключат от интервала ?

[martosss]

оу, да, точно така, при тях се нулира , а неравенството е строго, така че без тях!

[mkmarinov]

[tex]\sqrt{2x+4}-\sqrt{8-4x}>\frac{12x-8}{\sqrt{9x^2+16}}[/tex]
DM: x [-2;2]
[tex]12x-8=2(\sqrt{2x+4}^2-\sqrt{8-4x}^2)=2(\sqrt{2x+4}-\sqrt{8-4x})(\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x})[/tex]
Сега ще се дели на лявата страна. Очевидно когато тя е нула неравенството, което е нестрого, се превръща в равенство и не е решение.
[tex]x \ne \frac{2}{3}[/tex]
Нека (първи случай) тя е положителна.
----------------------------------
[tex]x \in (\frac{2}{3}; 2][/tex]
[tex]1>\frac{2(\sqrt{2x+4}+\sqrt{8-4x})}{\sqrt{9x^2+16}}[/tex]
[tex]2\sqrt{2x+4}+2\sqrt{8-4x}-\sqrt{9x^2+16}<0[/tex]; знаменателят е очевидно положителен.
[tex]4(12-2x+2\sqrt{-8x^2+32})<9x^2+16[/tex]
[tex]8\sqrt{-8x^2+32}<9x^2+16+8x-48[/tex]
[tex]16\sqrt{-2x^2+8}<9x^2+8x-32[/tex]
[tex]-512x^2+2048<81x^4+64x^2+1024+144x^3-576x^2-512x[/tex]
[tex]81x^4+144x^3-512x-1024>0[/tex]
[tex](3x)^4+(3x)^2*16x-512x-1024>0[/tex]
[tex](3x)^2=t[/tex]
[tex]t^2+16x.t-512x-1024>0[/tex]
[tex]D=(8x)^2+2.8x.32+32^2=(8x+32)^2[/tex]
[tex]t_{1,2}=8x\pm(8x+32)[/tex]
[tex]t_1=-32 < 0[/tex]
[tex]t_2=16x+32[/tex]
[tex]t \in (-\infty ; t_1) \cup (t_2 ; +\infty)[/tex], но т>0 и не влиза в първия интервал.
[tex]t > t_2[/tex]
[tex]9x^2-16x-32>0[/tex]
[tex]D=352=22*16=(4\sqrt{22})^2[/tex]
[tex]x \in (-\infty ; \frac{8-4\sqrt{22}}{3}) \cup (\frac{8+4\sqrt{22}}{3}; \infty )[/tex]
Окончателно за случая:
[tex]x \in (\frac{8+4\sqrt{10}}{3}; 2][/tex]
--------------------------------------------
Втори случай; x<2/3:
[tex]2\sqrt{2x+4}+2\sqrt{8-4x}-\sqrt{9x^2+16}>0[/tex]
[tex]4(2x+4+8-4x+2\sqrt{-8x^2+32})>9x^2+16[/tex]
[tex]16\sqrt{-2x^2+8}>9x^2+8x-32[/tex]
За разглежданият интервал лявата страна е положителна, а дясната - отрицателна.
=> [tex]x \in [-2; \frac{2}{3})[/tex] е решение.

Окончателно:
[tex]x \in [-2; \frac{2}{3}) \cup (\frac{8+4\sqrt{10}}{3}; 2][/tex]
(+/- някоя изчислителна грешка)
Видях я... във връщането от полагането е.

[martosss]

Да, интересен подход, лошото е, че и в двете решения има гадни сметки. Интересно дали има решение без сметки... аз пробвах с полагане x=4cos²t-2 , ама става едно кофти у-е, което не мога да реша