Задачка с матрица

bambino · Начинаещ Регистриран на: 29 Aug 2009 Мнения: 3

Здравейте,
Някой би ли ми помогнал с тази задачка да ми даде някакви насоки. Мисля че задачката не е много трудна но аз съм малк начинаещ и съм леко затруднен. Решам е до някаде но в един момент не знам какво трябва да напрвя. Ето моите стъпки:
1. D=T^-1AT, уможавам двете страни по Т и получавам TD=AT, извършвам двете умножения от двете страни и получавам матрица=матрица. После приравнявам всеки един от елементите на първата матрица с вквивалентия елемент на втората матрица и получавам общо 9 уравнения които незнам как да ги наредя в система така че да намеря нещо.
Моля ако някои знае да ме поправи и да ме насочи какви са стъпките за да се реши задачата.

Благодаря ви предварително!

Реклама

nikko1 · Пуснато на: Sat Aug 29, 2009 7:42 pm Заглавие:

Пич тези задачи не се решават така. Все пак не знаеш нито T нито D.

Това е матрица с прост спектър. Просто намери собствените вектори. Те ще са три и образуват базис. Като го ортонормираш и запишеш новия базис в стълбове ще получиш матрицата Т. Матрицата D ще е диагонална и ще се състои от собствените стойности на матрицата А.
Успех.

bambino · Пуснато на: Sat Aug 29, 2009 8:24 pm Заглавие:

мерси за отговораа...
само да попитам тези собствени стойности как се намират точно...

Мерси!

nikko1 · Пуснато на: Sun Aug 30, 2009 7:14 am Заглавие:

Намираш корените на характеристичния полином. Той се намира така:
[tex]\varphi(\lambda)=\det(A-\lambda.E)[/tex] или в твоя случай трябва да решиш уравнението [tex]\left|\begin{array}{ccl}3-\lambda&-1&1\\4&\ -1-\lambda\ &2\\2&-1&2-\lambda\end{array}\right|=0.[/tex]
Можеш да преобразуваш детерминантата и да извадиш множител (така определяш първата собствена стойност), след което да остане детерминанта от втори ред, която води до квадратно уравнение.
Другия начин е да сметнеш детерминантата директно по формулата. Получава се полином на ламбда от 3-та степен. След това корените можеш да ги намериш чрез схемата на Хорнер.

bambino · Пуснато на: Sun Aug 30, 2009 3:15 pm Заглавие:

Мерси за разяснението. Реших уравнението и намерих [tex]\lambda [/tex]₁₂ = 1, [tex]\lambda [/tex]₃ = 2. Но след това незнам как намеря D - как точно да наредя [tex]\lambda [/tex] за да намеря тази диагоналната матрица D.
И може ли да ми дадеш малко разяснения как да намеря T. Как точно се намират тези собствените вектори...

Мерси предварително!

nikko1 · Пуснато на: Sun Aug 30, 2009 5:02 pm Заглавие:

Подредбата на ламбдите няма значение. Просто си ги фиксираш. Така както си ги означил е чудесно. След като знаеш собствените стойности, то матрицата D вече е ясна. Тя е
[tex]D=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\0&0&\lambda_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&\2\end{array}\right).[/tex]
Остава да намериш T като за целта трябва да решиш 2 хомогенни системи и да намериш фундаменталните им системи решения (ФСР).
I сл. [tex]\lambda_{1,2}=1[/tex]. Системата е [tex](A-1.E)x=0[/tex] или имаш система с матрица, която се получава от А с изваждане на единица по диагонала. След привеждане на матрицата по Гаус ще трябва да получиш 2 реда с нули и съответно 2 базисни вектора в тази ФСР. От тук получаваш първите 2 собствени вектора - a_1, a_2.
II сл [tex]\lambda_{3}=2[/tex]. Системата е [tex](A-2.E)x=0[/tex] или имаш матрица, която трябва да се получи с едни ред нули. От тук получаваш третия собствен вектор - a_3.

Ще се наложи да ортогонализираш системата а_1, a_2, a_3 до нова система e_1, e_2, e_3 и след това да направиш векторите единични. Така получаваш ортонормиран базис от собвени вектори. Координатите на векторите, написани в стълбове ще ти дадат матрицата на смяната T.