Интересна задача..

[waVe]

Точката А лежи на окръжностс с радиус R.На какво разтояние x от А трябва да се прекара хорда BC, успоредна на допирателната към окръжността в точката А, така че лицето на триъгълник ABC да е най-голямо. Да се намери лицето на триъг. ABC за намерената стойност на x и дължините на страните му.

Ако някой помогне ще съм благодарен!

[Реклама]

[martosss]

ми би трябвало да е равностранен този триъгълник... остава въпросът защо.

[_sssss]

[tex]\normal BC| \, |t(A), \; t(A) \perp OA \Rightarrow AO \perp BC[/tex]

Значи отсечката x лежи на AO и е височина в равнобедрения ▲ABC.

[tex]\normal \angle A=\varphi[/tex]
[tex]\normal \frac{x}{BC/2}=tg\(90^\circ -\frac{\varphi}{2}\) \Rightarrow CB=2x \cdot tg\(\frac{\varphi}{2}\)[/tex]

[tex]\normal sinT\Rightarrow \frac{CB}{sin\varphi}=2R[/tex]

[tex]\normal CB=2Rsin\varphi=2x \cdot tg\(\frac{\varphi}{2}\) \Rightarrow x=2Rcos\(\frac{\varphi}{2}\)[/tex]

[tex]\normal \; S_{ABC}=\frac{x \cdot BC}{2}=2R^2 \cdot sin\varphi \cdot cos{\frac{\varphi}{2}}[/tex]

Хм, така не ме кефи... много гадна производна.

[ганка симеонова]

Нека означим [tex]AP=x; BP=CP=a [/tex] От свойството на пресичащи се хорди в окр=>
[tex]BP.CP=AP.PQ=>a^2=x(2R-x)=>a=\sqrt{2Rx-x^2} =>S=ax=\sqrt{2Rx^3-x^4} ; x\in(0; 2R) [/tex]
Лицето ще получи максимална стойност, за онова х, за което подкоренната функция f добие такава.
[tex]f'=2x^2(3R-2x) [/tex] В разглждания интервал f има единствен екстремум, който е максимум и се достига за [tex]x=\frac{3}{2 } R [/tex]=> там ще имаме и най- голяма стойсност за лицето.

[martosss]

Точно така... и излиза АВ=ВС=АС=R√3, откъдето триъгълникът е равностранен.

[waVe]

Мда, благодаря за решението.
Аз стигам до същата функция, само че не съм учил производни/екстремуми и такива и само гледах хубавата функция лицето май трябва да е 2ax, макар че май не се отразява на отговора

[ганка симеонова]