Три лесни задачки с числа

[_sssss]

Задача 1. Ако n е цяло число, по-голямо от 0, какъв остатък дава 9¹²ⁿ⁺³ при деление на 10?

Задача 2. Числото K е такова, че единиците му, умножени 3 пъти, са равни на неговите десетици, умножени по 2. Колко такива числа има между 10 и 99?

Задача 3. Намерете най-малкото естествено число N, което започва с цифрата 1 и е такова, че ако единицата се премести в края, числото се увеличава 3 пъти.

[Реклама]

[ганка симеонова]

1) Ако разгледаме последната цифра на степените на 9, забелязваме, че четните степени окончават на 1, а нечетните на 9. Понеже [tex]12n+3 [/tex] е нечетно, то окончава на 9=> остатъкът при деление на 10 е 9.

[mousehack]

По първа:
Търсим с какво е сравнимо [tex]9^{12n+3}[/tex] по модул от 10.
[tex]9^{x}\equiv 1(mod 10)[/tex] , ако х е четно и [tex]9^{y}\equiv 9(mod 10)[/tex] ако y е нечетно.Тъй като 12n+3 е винаги нечетно => [tex]9^{12n+3}\equiv 9(mod 10)[/tex]

[mousehack]

Втора:
Нека едно такова число е [tex]\overline{ab}=10a+b [/tex],като [tex]3b=2a => \overline{ab}=15b+b=16b [/tex].От [tex]3b=2a [/tex] следва,че б трябва да е четно.Тогава числата,отговарящи на тези условия са: 16*2=32,16*4=64,16*6=96.

[mousehack]

Трета:
Отначало записваме [tex]\overline{1A}*3=\overline{A1} [/tex].Съобразяваме,че първата цифра на числото [tex]\overline{A1}[/tex] може да е 3,4 или 5,кано всеки път проверяваме дали имаме решение при А=3,4,5.
1)[tex]\overline{1A}*3=\overline{A1} [/tex] -няма ршение.
2)[tex]\overline{1B7}*3=\overline{B71} [/tex]-няма ршение
3)[tex]\overline{1C57}*3=\overline{C571} [/tex]-няма ршение
4)[tex]\overline{1D857}*3=\overline{D8571} [/tex]-няма ршение
5)[tex]\overline{1E2857}*3=\overline{E28571} [/tex] -имаме решение при Е=4.
ОТГ:N=142857

[nutcase]

За Втора задача:
По условие за числото [tex]\overline{xy}[/tex] е в сила - 2x=3y. Следователно 2х се дели на 3 без остатък. След проверка числата са само 3: 32, 64, 96.

[_sssss]

Браво на всички!

Още едно за 3:

[tex]3\cdot\overline{1a}=\overline{a1} \\ 3\cdot10^n + 3a=10a + 1 \\ a=\frac{3\cdot 10^n - 1}{7} [/tex]

n=5, a=42857, N=142857