Регистрирайте сеРегистрирайте се

Наклонена пирамида


 
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
grigor.marinov
Начинаещ


Регистриран на: 23 Aug 2009
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Sun Aug 23, 2009 11:01 pm    Заглавие: Наклонена пирамида

Дадена е триъгълна пирамида ABCD. Основата е равнобедрен триъгълник АВС; АB=a, BC=AC=b. Също така AD=BD=CD=l. Търсят се ъгъллите, които сключват страните на пирамидата с основата.

П.С. Мисля, че решението може и да се окаже много лесно, лошото е че ми трябва за една констукция вкъщи, която искам да стане правилно, а геометрията ми е толкова далечна вече. Ще съм доволен и само на малко насочване. Това, което не мога да си спомня и ми е трудно да намеря е: къде се проектира височината дадената (наклонена) пирамида.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Mon Aug 24, 2009 9:48 am    Заглавие:

Понеже [tex]AD=BD=CD=l[/tex], то върхът се проектира ортогонално в центъра на описаната около основата окръжност (равните наклонени имат равни проекции). Нека това е точка [tex]O[/tex]. Тогава ще е изпълнено [tex]AO=BO=CO=R[/tex].
Понеже не знам какво искаш да кажеш със страните на пирамидата, ще намерим както ъглите между околните ръбове и основата, така и ъглите между основата и околните стени (по-вероятно второто си имал предвид). За целта построяваме [tex]CH\bot AB, \, O\in CH[/tex]. Лесно намираме [tex]CH=\frac{\sqrt{4b^2-a^2}}{2}[/tex]. От [tex]\triangle AHC \Rightarrow sin\angle CAH= sin\alpha = \frac{CH}{AC} \Leftrightarrow sin\alpha=\frac{4b^2-a^2}{2b}[/tex], откъдето по синусовата теорема за [tex]\triangle ABC[/tex] определяме [tex]R=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}[/tex], т. е. [tex]AO=BO=CO=\frac{b^2}{\sqrt{4b^2-a^2}}[/tex]. Сега виждаме, че синият, зеленият и бежовият триъгълник са еднакви. Тогава е ясно, че [tex]\angle OAD=\angle OBD=\angle OCD[/tex]. Пресмятаме [tex]cos\angle OAD=cos\varphi=\frac{AO}{AD} \Leftrightarrow cos\varphi=\frac{b^2}{l\sqrt{4b^2-a^2}}[/tex], т. е. [tex]\fbox {cos\angle OAD=cos\angle OBD=cos\angle OCD=\frac{b^2}{l\sqrt{4b^2-a^2}}}[/tex]. Така свършва първият случай: ъгъл между околен ръб и основа.
Остава да намерим ъглите между околните стени и основата. Понеже [tex]CH\bot AB[/tex], то и [tex]DH\bot AB[/tex], откъдето ъгълът между стените [tex]ABD[/tex] и [tex]ABC[/tex] е [tex]\angle CHD[/tex]. Ще определим например [tex]cos\angle DHO[/tex], което всъщност е [tex]\frac{HD}{DH}[/tex]. От [tex]\triangle BHD \Rightarrow DH=\frac{\sqrt{4l^2-a^2}}{2}[/tex].
Около основата може да се опише окръжност. Ако [tex]\angle ACB=\gamma[/tex] (вписан), то [tex]\angle AOB=2\gamma[/tex] (централен) и тъй като [tex]AO=BO[/tex], то [tex]\angle AOH=\angle BOH=\gamma[/tex]. От [tex]\triangle AOH \Rightarrow \tan\gamma=\frac{AH}{OH} \Leftrightarrow OH=AH \cot\gamma[/tex]. Но [tex]\cot\gamma=\frac{cos\gamma}{sin\gamma} \Leftrightarrow \cot\gamma=\frac{2b^2-a^2}{a\sqrt{4b^2-a^2}} \Rightarrow OH=\frac{a(2b^2-a^2)}{2\sqrt{4b^2-a^2}}[/tex]. От последното [tex]\Rightarrow \fbox {cos\angle DHO=\frac{a(2b^2-a^2)}{\sqrt{(4l^2-a^2)(4b^2-a^2)}}}[/tex]. За другите два ъгъла (които са равни) се постъпва по същия начин. Тук приключва вторият случай: ъгъл между околна стена и основа.



Цветни триъгълничета.PNG
 Description:
 Големина на файла:  34.17 KB
 Видяна:  1959 пъти(s)

Цветни триъгълничета.PNG


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
grigor.marinov
Начинаещ


Регистриран на: 23 Aug 2009
Мнения: 2


МнениеПуснато на: Tue Aug 25, 2009 7:42 pm    Заглавие:

Благодаря много, беше ми от голяма полза.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Стереометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.