Разоряване на играча

[Nevena]

Последователно се хвърля монета,ако се падне ези играча печели 1 лв.,ако се падне тура губи 1 лв.Играта завършва,ако играча събере предварително определена сума от а лева ,или когато изхарчи всичките си пари.Каква е вероятността играча да се разори?
Може да считаме ,че играча е имал преди началото на играта x лева.[/b]

[Реклама]

[limonka]

Аз получавам губи:печели=2^а:2^2x,но незнам дали логиката ми е вярна . Вероятността нито да спечели нито да загуби е 1/2^+∞, но се пренебрегва защото клони към 0

[Infernum]

Ако кажеш как стигаш до този извод, ще е много добре
Задачката е хубава.

[limonka]

Значи ... първо за да загуби трябва да хвърли с x пъти повече тура от ези (тура = ези + x), а за да спечели трябва да хвърли с (а-x) пъти повече ези (ези = тура + а - x).
Ако имаме 3 лв (x=3), вероятността да хвърли тура е 50%, вероятността след това пак да хвърли тура е 25%, а вероятността трети път да хвърли тура е 25/2%=1/2³=1/2^x, с всеки следващ път вероятността се разполовява, защото имаме две възможности - ези или тура
Вероятността да хвърли x пъти последователно тура е 1/2^x, а вероятността да хвърли а-x пъти последователно ези е 1/2^а-x. Аз си мисля че вероятността да хвърли x пъти последователно тура към вероятността да хвъли а-x пъти последователно ези е равно на вероятността да загуби към вероятността да спечели => губи/печели=[1/2^x]/[1/2^(а-x)] => губи/печели=2^а/2^2x

В училище сме учили доста бегло вероятности, така че може и да пиша пълни глупости

[limonka]

Ако някой знае отг или знае как се решава нека да каже, моля! Интересно ми е да видя дали съм я решила правилно

[limonka]

Айде бе хора! Никой ли не може да реши тая задача???
Моля ви се, решете я!
Е, ако не съм прекалено нахална де

[limonka]

за някой ако разбира английски www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?p=799941#799941
аз не мога да го разгадая

[Volen Siderov]

(Задачата е страхотна още от самото начало я видях,но за съжаление не мога да достигна до окончателен отговор.Въпреки това ще се радвам ако я обсъдим и някой може да и даде решение.
Моите разсъждения са следните:
Първо каквато и комбинация от различни печалби и загуби да водят до някакво състояние(печалба или загуба на к лева при n-тото хвърляне) то е с вероятност (1/2)^n по броя комбинации водещи до това състояние.Това най-добре се онагледява със следната схема-пирамида:


n=0 1
n=1 1 1
n=2 1 2 1
n=3 1 3 3 1
n=4 1 4 6 4 1
n=5 1 5 10 10 5 1
n=6 1 6 15 20 15 6 1
.
.
.
n=k C(k,0) C(k,1) C(k,2) ...........C(k,k-1) C(k,k)

Едната посока(напр. ляво)се минава когато се падне ези(печалба),а другата е при тура(загуба).Например при n=5-то хвърляне имаме 1 вариант за печалба на 5 лева,5за печалба на 3 лева,по10 за печалба или загуба на 1 лев,5 за загиба на 3 лева и 1 за загуба на 5 лева.Числата даващи броя комбинации са в в следната зависимос:
1=C(5,0)=5!/0! (5-0)! 5=C(5,1)=5!/1! (5-1)! 10=C(5,2)=5!/2!(5-2)!

C(n,t)=n!/t!(n-t)!

Това са комбинации като при развитие на нютонов бином.Освен това


C(k,0)+C(k,1)+C(k,2)+ ...... +C(k,k)=2^k


Следователно вероятността след n-тото хвърляне играча да е спечелил а лева Х(а) се определя от броя комбинации водещи до този изход.Като се вземе предвид че четна сума се печели само при четен брой хвърляния аз ги определям съответно:
При a,n четно C(n,(n-a)/2)
При a,n нечетно C(n,(n+1)/2 - (a+1)/2)=C(n,(n-a)/2) което е същото


Следователно вероятността при n-тото хвърляне да имаме а лева е P(a)=C(n,(n-a))(1/2)^n

Това обаче не е отговора защото играча може да е спечелил а лева в някое от предишните хвърляния.
Следва че трябва да се намери сумарната вероятнист да се спечели а лева в някое от хвърлянията от 1 до n ( по точно от a до n)
Това трябва да се даде от формулата

P=C(a,0)(1/2)^a + C(a+2,1)(1/2)^(a+2) + ......................+ C(n,(n-a)/2))(1/2)^((n-a)/2)

Освен това трябва да се вземе предвид,че при достигане на стойност а в някое от хвърлянията то трябва да се вземат само комбинации които не минават през стойност а в някое от предишните хвърляния.
Така окончателната вероятност ще е :


P(a)=(C(a,0)-0)(1/2)^a + (C(a+2,1)-C(2,1))(1/2)^(a+2) + ....... +(C(n,(n-a)/2)-C((n-a),(n-a)/2)(1/2)^((n-a)/2)


Намирането на P(a) когато n клони към безкрайност ще ни даде решението на задачата.

[Volen Siderov]

Не се получи при пращането наредбата на числата както го написах,но се има предвид че числата се нареждат 1 пос него 1 1 под тях 1 2 1 под тях 1 3 3 1 и т. н.

[Volen Siderov]

Освен това накрая при изчислението на P(a) тробва в всеки член от броят комбинации за всяко шпоредно хвърляне да се вземе предвид (т.е. да се извадят) комбинациите при които се минава през стойност b.Тогава по условие играта трябва да свърши