Моля помогнете за решаването на тази задачка

[Donjo]

Здравейте, много ще съм ви благодарен, ако можете да ми помогнете за решаването на тази задачка. Имам само задачи, но нямам решение на този тип. Моля помогнете

[Реклама]

[nikko1]

Нека [tex]x=(x_1,x_2,x_3,x_4)[/tex] е вектор ортогонален на a_1 и a_2. Тогава
[tex]a_1.x=0[/tex] и
[tex]a_2.x=0[/tex] образуват хомогенна система от 2 уравнения с 4 неизвестни. Знае се, че пространството ти е четиримерно (толкова са координатите). След като решиш системата ще се окаже, че тя зависи от 2 параметъра. Намираш фондаментална система решения, която ще ти даде векторите [tex]a_3[/tex] и [tex]a_4[/tex] с които вече имаш базис. Остава да ортогонализираш по метода на Грам-Шмид и да направи векторите единични.

[Donjo]

Благодарности на nikko1
Здравей те, точно това не знам как да образувам системата ? Трябва ли първо да го реша като матрица или направо да я образувам ?

Примерна матрица която трябва да реша:
|2 1 0 -1|
|-1 2 1 0|

или направо система трябва да направя:

|2x1+x2+0x3-1x4=0
|-1x1+2x2+1x3+0x4=0

и, как се решава такава система, знам, чрез матрица?

Моля, помогне те...

[nikko1]

Да, точно такава е и системата и матрицата. Реши ги и двата линейно независими вектора, които ще получиш допълват системата ти до базис. Остава да го ортонормираш.

[Donjo]

|x.a1=2x1+x2+0x3-x4=0
|x.a2=-x1+2x2+x3+0x4=0
x.a1=0
x.a2=0

Образувам система:
|2x1+x2+0x3-x4=0
|-x1+2x2+x3+0x4=0

След това решавам системата чрез матрица:

А= | 2 1 0 -1 |
|-1 2 1 0 |

| -1 2 1 0 | *2
| 2 1 0 -1|

| -1 2 1 0 |
| 0 5 2 -1|

r(A)= ?????

След това образувам новата система:

|-x1+2x2+x3=0
| 5x2+2x3-x4=0


И от тук следва, че незнам как се решава този тип системи ? Можели да ми покажете как се решава ?

[Donjo]

Значи тоста помислих и стигнах до този извод:

x1=p, x2=q
Ето я и системата:
|-x1+2x2+x3=0
|5x2+2x3-x4=0

=>

|-p+2q+x3=0
|5q+2x3-x4=0

=>
|x3=p-2q
|5q+2p-4q-x4=0

=>

|x3=p-2q
|x4=q+2p

x=(p,q, p-2q, q+2p)

p | q
_ _ _
1 | 0
0 | 1

a3= (1, 0, 1, 2)
a4= (0, 1, -2, 1)

a1*a2=0
a3*a4=0

=> a1, a2, a3, a4 - ортогонален базис

|a1| = [tex]\sqrt{1+0+1+4}[/tex]=[tex]\sqrt{6}[/tex]

Е1 =[tex] \frac{1}{\sqrt{6} }[/tex] (2,1,0,-1)

|a2| = [tex]\sqrt{1+4+1}[/tex]=[tex]\sqrt{6}[/tex]

Е2 =[tex] \frac{1}{\sqrt{6} }[/tex] (-1,2,1,0)

|a3| = [tex]\sqrt{1+0+1+4}[/tex]=[tex]\sqrt{6}[/tex]

Е3 =[tex] \frac{1}{\sqrt{6} }[/tex] (0,1,-2,1)

|a4| = [tex]\sqrt{1+4+1}[/tex]=[tex]\sqrt{6}[/tex]

Е4 =[tex] \frac{1}{\sqrt{6} }[/tex] (0,1,-2,1)


Моля Кажете, че е вярно pls

[nikko1]

Вярно е