Регистрирайте сеРегистрирайте се

аритметични задачи с цифри

Иди на страница 1, 2  Следваща
 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 5-8 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Wed Aug 19, 2009 10:28 pm    Заглавие: аритметични задачи с цифри

ще ви дам една задачка ако можете да ми помогнете ще ви дам още...
едно естествено число наричаме "късче" ако то е получено след записването на цифрите на числата 1,2,3,...,n една след друга (например 1234, 12345678, 1234567891011121314 и т.н.) Докажете, че произведението на две "късчета" не може да бъде равно на "късче"...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Vladi_mnt
Редовен


Регистриран на: 17 Apr 2009
Мнения: 113

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Thu Aug 20, 2009 7:39 am    Заглавие:

Контрапример: късче х 1 = късче Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Vladi_mnt
Редовен


Регистриран на: 17 Apr 2009
Мнения: 113

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Thu Aug 20, 2009 7:44 am    Заглавие:

бтв, що да не може да е късче? нека имаме числата а,б и в като в=а.б, но и трите числа ще се срещнат някъде в редицата (ако я продължим евентуално), защото така е според условието и от това че а и б са ест числа, то и в е. Та, да не би условието ти да не е така? Произведението на кои да е 2 естествени числа също дава естествено, което също ще се срещне в редицата или в продължението й.
съмнявам се нещо в решението си Laughing но мисля че е така Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Aug 20, 2009 8:16 am    Заглавие:

Това може да стане с 1, но с други числа едва ли може да стане, а ако евентуално може, то ще е много рядко.
Това е защото като имаш примерно 12*12 =144, цифрите в новото число не са подредени във възходящ ред. Това че новото число е естествено никак не означава, че то ще попада в множеството М={1, 12, 123, 1234,... }, защото М не обхваща всички естествени числа, а напротив - много малка част от тях.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Thu Aug 20, 2009 9:22 am    Заглавие:

мерси но ако се сетите за по-подробно решение пишете.... а ето и други задачи: 1.Докажете,че от всяко естествено число с 60 цифри, никоя от които не е нула, могат да се зачеркнат няколко цифри така че полученото ново число да се дели на 1001
2. числото N е деветжифрено естествено число, записано с цифрите от 1 до 9 включително. Ако N завършва на 5, докажете ,че N не може да бъде точен квадрат на естествено число
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Vladi_mnt
Редовен


Регистриран на: 17 Apr 2009
Мнения: 113

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Thu Aug 20, 2009 9:33 pm    Заглавие:

martosss написа:
Това може да стане с 1, но с други числа едва ли може да стане, а ако евентуално може, то ще е много рядко.
Това е защото като имаш примерно 12*12 =144, цифрите в новото число не са подредени във възходящ ред. Това че новото число е естествено никак не означава, че то ще попада в множеството М={1, 12, 123, 1234,... }, защото М не обхваща всички естествени числа, а напротив - много малка част от тях.

Марто, нещо не те разбирам.... За да намериш 144 в редицата трябва просто да продължиш редицата до числото 144 (виж, в примера е дадена думата"цифри" но май трябва да се разбира числа, защото има редица 1234567891011121314 и тн... е, просто ще напишем числата до 144 вкл едно до друго и ще намерим "късчето" състоящо се от последните 3 цифри на дадената от мен редица Very Happy. Пък може и да я продължим - търсеното късче ще го има вече Very Happy Smile Сега разбра ли ме? Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
masterfromkardjali
Начинаещ


Регистриран на: 30 Oct 2006
Мнения: 35

Репутация: 14.7

МнениеПуснато на: Thu Aug 20, 2009 9:53 pm    Заглавие:

"Късче"то трябва да е число, което представлява обединиението на числата от 1 до n в [tex]Z[/tex], записани едно до друго като една "дума".
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Aug 21, 2009 9:19 am    Заглавие:

Vladi_mnt написа:
Сега разбра ли ме? Smile

Хм, да, не се бях замислял, че като расте към това число се прибавят 10, 11 и така нататък, а не просто отново цифрите от 1 до 9, както и да е, все пак твърдението не е доказано, защото освен при умножение с 1(което не би трябвало да се счита за къс, защото е съставено само от 1 цифра) друг пример не си дал Wink Така че ще се опиташ ли да го обориш?(аз нещо не се сещам за успешен метод Embarassed )
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Vladi_mnt
Редовен


Регистриран на: 17 Apr 2009
Мнения: 113

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Fri Aug 21, 2009 8:10 pm    Заглавие:

Embarassed Embarassed Embarassed Аз съм голям неграмотник (не съм разбрал условието) Embarassed Embarassed Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Fri Aug 21, 2009 9:54 pm    Заглавие:

мерси за 1зад. но моля вижте другите две които съм дал защото ми трабват за тази неделя (т.е. след 1 ден Confused )
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Aug 23, 2009 10:17 am    Заглавие:

georgi_223 написа:
1.Докажете,че от всяко естествено число с 60 цифри, никоя от които не е нула, могат да се зачеркнат няколко цифри така че полученото ново число да се дели на 1001

На тази ми дойде просветление:
Тъй като числото има 60 цифри, а цифрите без 0 са 9 на брой, то от принципа на дирихле следва, че 60-цифреното число ще има пон 6 еднакви цифри. Тогава зачеркваме всички останали цифри, така че получаваме число от вида [tex]\overline{aaaaaa}[/tex], където [tex]a\in \left\{1\: ;\: 9\right\}[/tex].
Сега [tex]\overline{aaaaaa}=\overline{aaa}*1001[/tex], откъдето задачата е решена. Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Vladi_mnt
Редовен


Регистриран на: 17 Apr 2009
Мнения: 113

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sun Aug 23, 2009 9:31 pm    Заглавие:

Ако N завършва на 5, и е точен квадрат, то N завършва на 25...утре ще помисля още (нищо че ще е късноІ
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Mon Aug 24, 2009 9:47 am    Заглавие:

мерси марто... аз с разсъжденията стигнах само до дирихле... оттам нататък не се сетих (=
очаквам скоро да получа нови задачи така че... Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 9:05 am    Заглавие:

1зад.Намерете есички естествени числа, делящи се на 30 и имащи точно по 30 различни делителя

2зад. N е петцифрено число. Ако умонжим ab.cde=42042 и abc.de=24642 N=?

3зад.Квадрат 3х3 е раздекен на 9 еднакви квадратчета, в които са написани числата от 1 до 9 по един път. За всеки квадрат 2х2 пресмятаме сумата от числата в него и така намираме най-малката от получените четири стойности и я наричаме "баланс". Намерете най- малката стойност на баланса.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 10:06 am    Заглавие:

1зад. От това, че се дели на 30 следва, че числото има поне 3 прости множителя - 2,3,5. Освен това, знаем, че [tex]n=p^s.q^t...r^l[/tex] има [tex](s+1)(t+1)...(l+1)[/tex] делителя. Тъй като [tex]30=2.3.5[/tex], то търсенето число има вида [tex]p.q^2.r^4[/tex] за прости [tex]p,q,r[/tex]. Сега остава просто да заместим [tex](p,q,r)[/tex] със [tex](2,3,5),(2,5,3),...[/tex].
2 зад. Много сметки.
3 зад. Условието май е сбъркано. Очевидно най-малката стойност на баланса ще е [tex]1+2+3+4=10[/tex]. Предполагам си изпуснял някое условие за наредбата на числата.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 10:19 am    Заглавие:

извинявам се за 3та зад.
търси се най-голямата стойност на баланса Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 11:31 am    Заглавие:

Значи би трябвало да е 24 Confused

1 7 3
8 9 5
2 6 4
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 11:54 am    Заглавие:

на втора числото е 66637 - имаш
abc*de=24642=2*3²*37²
Оттук имаш, че двуцифрените числа могат да са
18, 37, 37*2,
а трицифрените:
37*3, 37*6, 37*9 37*18

Ако първото число е 18, то за другото остава 37² => не е 18
ако е 37 за другото остава 37*18 - става

ако е 37*2 за другото остава 37*9 - става

получихме две възможности:
666*37
333*74

Сега проверяваме дали 33*374=12342 трябва да получим 42042, значи не е то!

Проверяваме и другото - 66*637=42042 - ето го нашето число - 66637.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 1:12 pm    Заглавие:

мерси за 1 и 2 зад. а за 3та мартос с наредбата която си направил на 2 от сумите се получава 24 на другите две 25... може и това да е отговора но ако имате идеи за обосновка споделете я :Р давам още няколко... Smile

1.Намерете най-малкото ест. число n, за което 2n е точен квадрат, 3n е точна трета степен, а 5n е точна пета степен на ест. число

2.Пресметната е сумата от цифрите на числото 2(на 2007 степен) след това сумата от цифрите на полученото число и т.н., докато се получи едноцифрено число. Кое е то?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 1:30 pm    Заглавие:

понеже "баланс е най-малкото от получените 4 числа", то балансът на (24,24,25,25) е 24.
А защо съм избрал точно тази подредба:
средното число трябва да е най-голямо, защото участва във всички квадрати => 9
числата в ъглите трябва да са най-малки, защото учатсват само 1 => 1,2,3,4
числата, съседни на средната клетка по стена, трябва да са 5,6,7,8
Сега получаваш, че като направиш 4 квадрата сумата от цифрити ще е 4*9+2*(5+6+7+Cool+(1+2+3+4)=98, защото 9 е участвала 4 пъти, а 5,6,7,8 са участвали по 2 пъти. Средно аритметичното е 24.5 - това е максимумът и се получава, когато всички квадрати 2х2 имат равна сума. Нашите обаче трябва да имат целочислена сума, откъдето 24.5 е недостижимо, но е достижимо 24 Wink 25 е недостижимо, защото тогава сумата на числата в квадратите ще е поне 100, което е невъзможно.

за зад.1 не бях разбрал условието Embarassed виж решението на звездите_ми_говорят по-долу. Wink


Последната промяна е направена от martosss на Fri Aug 28, 2009 3:19 pm; мнението е било променяно общо 3 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 1:45 pm    Заглавие:

Задача 1.

2n --> броят на 2 е нечетен
3n --> броят на 2 е кратен на 3
5n --> броят на 2 е кратен на 5
това число е 15

2n --> броят на 3 е четен
3n --> броят на 3 е 3k-1
5n --> броят на 3 е кратен на 5

3k-1 да се дели на 5, 2 .... k=7, 3k-1=20

2n --> броят на 5 е четен
3n --> броят на 5 е кратен на 3
5n --> броят на 5 е 5k-1

5k-1 да се дели на 3, 2 .... k=5, 5k-1=24

Получавам, че n= 215320524
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 3:49 pm    Заглавие:

мерси за задачите но обосновката на звездите_ми_говорят не мога нещо да я разбера Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 4:05 pm    Заглавие:

Ясно, че най-малкото [tex]n[/tex] трябва да има прости делители само [tex]2,3,5[/tex]. Нека [tex]n=2^a.3^b.5^c[/tex]. От условието получаваме [tex]a[/tex] - нечетно и кратно на [tex]3.5=15\Rightarrow a_{min}=15[/tex].Аналогично [tex]b=3k-1[/tex] и e кратно на [tex]2.5=10[/tex], откъдето [tex]b_{min}=20[/tex]. По същия начин намираме [tex]c_{min}=24[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 9:22 pm    Заглавие:

Интересно ми е как ще се реши задачата с [tex]2^{2007}[/tex].

В този ред на мисли, една сходна задача ме затруднява:

По дадено естесвено число [tex]N[/tex] да се намери такова естесвено число [tex]K[/tex], че последните [tex]N[/tex] цифри на числото [tex]2^K[/tex] да са само единици и двойки.

По принцип задачата е по инфоратика, така че може да се проверява наред, но сигурно има някаква математическа тънкост в цялата работа.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 9:57 pm    Заглавие:

звездите_ми_говорят написа:
Интересно ми е как ще се реши задачата с [tex]2^{2007}[/tex].

Чак сега го видях. Embarassed Сумата от цифрите не се мени по модул 9 Wink Понеже [tex]2^6\equiv 1(mod 9)\Rightarrow 2^{2004}\equiv 1(mod9)\Rightarrow 2^{2007}\equiv -1(mod 9)[/tex], т.е последното число ще е 8.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 10:11 pm    Заглавие:

Това и аз си го мислех, но в условието е казано друго нещо... ако имаш числото 257 , от него се получава 14, само че след 14 се получава 5... тоест от 257 получаваш 5 - модул 9 не ти върши работа. При 22007 ситуацията е подобна, само че имаме няколко трансформации.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
georgi_223
Начинаещ


Регистриран на: 19 Aug 2009
Мнения: 16


МнениеПуснато на: Fri Aug 28, 2009 10:50 pm    Заглавие:

тази задача с 2n, 3n, 5n не мога отново да я разбера ... защто да има нечетен бр двойки да се дели на 15 и т.н.... сиг е много просто но просто нз защо не мога да видя и разбера решението...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Sat Aug 29, 2009 12:34 am    Заглавие:

[tex]\sqrt{2 \cdot 2^a ...}=2^{\frac{a+1}{2}}...[/tex]

[tex]\sqrt[3]{2^a...}= 2^{\frac{a}{3}}...[/tex]

[tex]\sqrt[5]{2^a...}= 2^{\frac{a}{5}}...[/tex]

И понеже искаме [tex]2^{a}, \; 2^{\frac{a}{3}}, \; 2^{\frac{a}{5}}, \; 2^{\frac{a+1}{2}}[/tex] да са цели, то степените трябва да са цели, т.е. [tex]a[/tex] да се дели на 5, на 3 и да е нечетно(защото нечетно+1 се дели на 2)
Аналогично и за другите. Схвана ли?

@martosss, според калкулатора 257%9 = 14%9 = 5%9 = 5. Защо да не става така?

А как изчислихте 22007%9=8 ? Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Sat Aug 29, 2009 7:38 am    Заглавие:

martosss написа:
Това и аз си го мислех, но в условието е казано друго нещо... ако имаш числото 257 , от него се получава 14, само че след 14 се получава 5... тоест от 257 получаваш 5 - модул 9 не ти върши работа. При 22007 ситуацията е подобна, само че имаме няколко трансформации.
Марто, престани да пишеш глупости. Става ли?
звездите_ми_говорят написа:
А как изчислихте 22007%9=8 ? Embarassed
Виж ми поста по-горе.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Sun Aug 30, 2009 2:30 pm    Заглавие:

Да, тук имаш право, съжалявам. Embarassed
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 5-8 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Иди на страница 1, 2  Следваща
Страница 1 от 2

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.