Кое е по-голямо

[Saposto_MM]

Нека [tex]a,b,c>0[/tex].
Знаем, че [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c [/tex] (например от Хубавото Неравенство).
Знаем, че [tex]3\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\ge a+b+c [/tex] (след разкриване на скоби и отделяне на квадрати отляво - [tex]\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge 0[/tex]).
Кой от двата израза обаче е по-голям - [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}[/tex] или [tex]3\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}[/tex]. Обосновете отговора си!

[Реклама]

[martosss]

[Saposto_MM]

Браво martosss! А едно по-силно?
Ако [tex]a,b,c>0[/tex], то докажете, че [tex]\frac {a^2}{b} + \frac {b^2}{c} + \frac {c^2}{a}\ge \frac {\left(a + b + c\right)\left(a^2 + b^2 + c^2\right)}{ab + ac + bc}[/tex].

[martosss]

След умножаване по [tex]abc(ab+bc+ac)[/tex] и съкращаване, което няма да пиша подробно по разбираеми причини, остава да докажем, че

[tex]a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4\ge a^2bc^3+a^3b^2c+ab^3c^2[/tex]
Сега от СА-СГ(Отново! ) имаме
[tex]\frac{a^4c^2+a^2b^4}{2}\ge a^3b^2c\\\frac{a^2b^4+b^2c^4}{2}\ge ab^3c^2\\\frac{a^4c^2+b^2c^4}{2}\ge a^2bc^3[/tex]
Събираме трите и получаваме търсеното.