Регистрирайте сеРегистрирайте се

Кое е по-голямо


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Thu Aug 13, 2009 4:13 pm    Заглавие: Кое е по-голямо

Нека [tex]a,b,c>0[/tex].
Знаем, че [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c [/tex] (например от Хубавото Неравенство).
Знаем, че [tex]3\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}\ge a+b+c [/tex] (след разкриване на скоби и отделяне на квадрати отляво - [tex]\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge 0[/tex]).
Кой от двата израза обаче е по-голям - [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}[/tex] или [tex]3\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}[/tex]. Обосновете отговора си!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Aug 13, 2009 7:14 pm    Заглавие: Re: Кое е по-голямо

MM написа:
Кой от двата израза обаче е по-голям - [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}[/tex] или [tex]3\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}[/tex]. Обосновете отговора си!

Ще докажем, че [tex]\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge 3\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}[/tex]
Умножаваме по [tex]abc(a+b+c)[/tex] и получаваме
[tex]a^4c+\N {a^3bc}+a^3c^2+a^2b^3+ab^4+\N {ab^3c}+\N {abc^3}+b^2c^3+bc^4\ge \N 3^2(a^3bc+ab^3c+abc^3)[/tex]
[tex]a^4c+ab^4+bc^4+a^3c^2+a^2b^3+b^2c^3\ge 2(a^3bc+ab^3c+abc^3)[/tex]
Сега от СА-СГ имаме
[tex]\frac{4}{5}*\frac{a^4c+a^4c+ab^4+a^3c^2}{4}\ge \frac{4}{5}a^3bc[/tex]
[tex]\frac{4}{5}*\frac{b^4a+b^4a+bc^4+b^3a^2}{4}\ge \frac{4}{5}b^3ac[/tex]
[tex]\frac{4}{5}*\frac{c^4b+c^4b+ca^4+c^3b^2}{4}\ge \frac{4}{5}c^3ab[/tex]
[tex]\frac{6}{5}*\frac{a^4c+a^3c^2+a^2b^3}{3}\ge \frac{6}{5}a^3bc[/tex]
[tex]\frac{6}{5}*\frac{b^4a+b^3a^2+b^2c^3}{3}\ge \frac{6}{5}b^3ca[/tex]
[tex]\frac{6}{5}*\frac{c^4b+c^3b^2+c^2a^3}{3}\ge \frac{6}{5}c^3ab[/tex]
Сега остава само да съберем горните 6 неравенства и получаваме исканото! Laughing Laughing Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Thu Aug 13, 2009 7:32 pm    Заглавие:

Браво martosss! А едно по-силно?
Ако [tex]a,b,c>0[/tex], то докажете, че [tex]\frac {a^2}{b} + \frac {b^2}{c} + \frac {c^2}{a}\ge \frac {\left(a + b + c\right)\left(a^2 + b^2 + c^2\right)}{ab + ac + bc}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Aug 13, 2009 8:19 pm    Заглавие:

След умножаване по [tex]abc(ab+bc+ac)[/tex] и съкращаване, което няма да пиша подробно по разбираеми причини, остава да докажем, че

[tex]a^4c^2+a^2b^4+b^2c^4\ge a^2bc^3+a^3b^2c+ab^3c^2[/tex]
Сега от СА-СГ(Отново! Laughing ) имаме
[tex]\frac{a^4c^2+a^2b^4}{2}\ge a^3b^2c\\\frac{a^2b^4+b^2c^4}{2}\ge ab^3c^2\\\frac{a^4c^2+b^2c^4}{2}\ge a^2bc^3[/tex]
Събираме трите и получаваме търсеното.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.