Редица

[naitsirk]

Have Fun

[Реклама]

[martosss]

би трябвало след като докажем, че [tex]a_n=\sin \frac{60^\circ}{2^{n}}[/tex] нещата да станат по-леснички :]

[naitsirk]

предполагам по индукция ще стане

[naitsirk]

искаме да намерим такова [tex]\alpha _n[/tex], че [tex]sin\alpha _n=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-a^2_{n-1}} }{2 } } [/tex], но използваме, че [tex]sin\alpha _n=\sqrt{\frac{1-cos(2\alpha _n)}{2 } }=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-sin^2(2\alpha _n)} }{2 } } [/tex] или приравнявайки 2-та израза намираме, че [tex]sin(2\alpha _n)=a_{n-1}[/tex], но от друга страна [tex]a_{n-1}=sin\alpha_{n-1} [/tex], т.е. [tex]sin(2\alpha _n)=sin\alpha _{n-1}[/tex] => [tex]2\alpha _n=\alpha _{n-1}[/tex] => [tex]\alpha _n=\frac{\alpha _{n-1}}{2 }=\frac{\alpha _{n-2}}{2^2 }=\dots=\frac{\alpha _{n-k}}{2^k }=\dots=\frac{\alpha _1}{2^{n-1} } [/tex], но [tex]sin\alpha _1=\frac{1}{2 } [/tex] => [tex]\alpha _1=\frac{\pi }{6 } [/tex] => [tex]\alpha _n=\frac{\alpha _1}{2^{n-1} }=\frac{\pi }{3.2^n } [/tex] .... написано е не много подробно и има какво да се доизпипа, но в общи линии това е идеята