Прекалено много цифри

Deli1

Дадени са 120 на брой различни петцифрени числа,всяко едно записано с цифрите 1, 2, 3, 4 и 5,като цифрите на всяко едно число са различни.На колко е равен сборът на всички тези 120 числа?

Реклама

martosss · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 11:31 am Заглавие:

Може би 16665 ?

Deli1 · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 11:40 am Заглавие:

martosss · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 11:44 am Заглавие:

опа, трябва да е с 4 6-ци - 166665

Deli1 · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:10 pm Заглавие:

и така не е

krainik · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:19 pm Заглавие:

Марто, кво се занимаваш със задачи за 6-ти клас? Задачата наистина е лесна, но нека да се занимават с нея 5-8класници Laughing

ганка симеонова · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:19 pm Заглавие:

3 999 960

( не гарантирам за достоверност и аз)

ганка симеонова · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:20 pm Заглавие:

krainik · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:24 pm Заглавие:

Е, като им решавате задачи още повече ли ще станат?

martosss · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:25 pm Заглавие:

да.. още една девятка трябва да се добави май.. усетих си грешката Wink

3 999 960

Deli1 · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:42 pm Заглавие:

марто уцели най-накрая.Сега покажи на другарите 5-8 клас как си я решил

ганка симеонова · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:51 pm Заглавие:

ганка симеонова · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:02 pm Заглавие:

Интересно ще е , ако имаме [tex]1.2....n [/tex] на брой n-цифрени числа, записани с цифрите [tex]1, 2, ..., n [/tex], всяка от които участва само по един път, колко ще е тяхната сума.

martosss · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:06 pm Заглавие:

залагам на [tex]\frac{n(n-1)}{2}*(n-1)!*\underbrace{111\dots 1}_{n\cyr{ p\cdprimeti}}[/tex]

ганка симеонова · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:09 pm Заглавие:

martosss · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:10 pm Заглавие:

Да, точно така, не мисля като пиша. Embarassed

martosss · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:14 pm Заглавие:

Ясно е, че всички различни петцифрени числа, съставени от неповтарящите се цифрите 1, 2, 3, 4 и 5, са 120 на брой.
Нека на мястото на 1-ците стои цифрата 5. Тогава за останалите 4 позиции има точно 24 варианта за разпределение на цифрите.
Аналогично ако стои някоя друга цифра, то различните числа, които ще се образуват, са 24 на брой.
Така, ако сложим на първо място всяка една от цифрите от 1 до 5, ще получим общо 120 числа - търсената бройка, като всяко от цифрите от 1 до 5 ще участва точно 24 пъти в записа на 10 000-дите.
Аналогично получаваме за останалите разреди, че всяка цифра участва точно 24 пъти на всяка позиция. Оттук сумата на числата ще е
24*[(5*1+5*10+5*100+5*1000+5*10 000)+4*(...)+...+1*(...)]=24*11111*(1+2+3+4+5).

Vladi_mnt · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:36 pm Заглавие:

От условието лесно се съобразява, че на всяко число А=[tex]\overline{abcde} [/tex] можем да съпоставим по едно число B=[tex]\overline{(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)(6-e)} [/tex] така, че сборът им да е 66666. Имаме всичките 120 числа, които по двойки дават 60х66666=3999960

Vladi_mnt · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:37 pm Заглавие:

За съжаление не мога да го обясня по добре, въпреки че не съм го направил по най-подходящ начин, но съм решавал задача от този тип......

krainik · Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 2:57 pm Заглавие:

Няма кво да обясняваш. Числата ги разделяш на 2-ки (a,66666-a). Очевидно всяко число участва в точно 2 двойки. Оттук сумата е равна на [tex]\frac{120}{2}.66666=3999960[/tex]. За случая на Ганка, разбира се, имаме разделение на 2-ки [tex](a,\overline{\underbrace{(n+1)(n+1)(n+1)(n+1)...(n+1)}_{n}} - a)[/tex](при n=9 става абсолютно същото, но записа не е точно същия). Оттук сборът е [tex]\frac{(n!)(n+1)(10^n-1)}{18}=\frac{(n+1)!(10^n-1)}{18}[/tex], което е далеч по-хубав запис от горните, въпреки че те всъщност са едни и същи.