Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
naitsirk Напреднал
Регистриран на: 03 Jul 2008 Мнения: 295 Местожителство: Казанлък
  гласове: 34
|
Пуснато на: Tue Aug 11, 2009 9:24 pm Заглавие: Параметрично уравнение |
|
|
да се реши в зависимост от стойностите на параметъра [tex]a[/tex]
[tex]\sqrt{a+x+1-\sqrt{a(x+1)} }=x+1-\sqrt{a} [/tex] |
|
Върнете се в началото |
|
 |
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
 |
martosss VIP Gold

Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow
   гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 12:46 pm Заглавие: Re: Параметрично уравнение |
|
|
naitsirk написа: | да се реши в зависимост от стойностите на параметъра [tex]a[/tex]
[tex]\sqrt{a+x+1-\sqrt{a(x+1)} }=x+1-\sqrt{a} [/tex] |
[tex]D.S. a\ge 0,\: x+1\ge \sqrt a\ge 0[/tex]
[tex]\N a+x+1-\sqrt{a(x+1)}=(x+1)^2-2\sqrt a(x+1)+\N a\\\sqrt{x+1}=t\ge \sqrt a\\t^4-2\sqrt at^2-t^2+\sqrt a t=0\\t\left(t^3-(2\sqrt a+1)t+\sqrt a\right)=0[/tex]
Сега t=0=> x=-1, a=0 или
[tex]t^3-(2\sqrt a+1)t+\sqrt a=0\\\sqrt a (1-2t)=t^3-1\\\sqrt a =\frac{t(t-1)(t+1)}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}[/tex]
От Д.С.
[tex]t^2\ge \sqrt a \ge 0\Right \\t^2\ge \frac{t(t-1)(t+1)}{2\left(t-\frac{1}{2}\right)}\ge 0[/tex]
От лявото н-вство имаме [tex]t>\frac{1}{2}[/tex], а от дясното, [tex]t\in \left[0\: ;\: \frac{1}{2}\right)\cup \left[1\: ;\: +\infty \right)[/tex], откъдето окончателно
[tex]t\in \left[1\: ;\: +\infty\right)[/tex]
Сега от уравнението
[tex]\sqrt a =\frac{t^3-t}{2t-1}[/tex] би трябвало да намерим t спрямо а, но за съжаление не мога да го направя Някой ако може да продължи оттук.
Последната промяна е направена от martosss на Fri Aug 14, 2009 12:03 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти |
|
Върнете се в началото |
|
 |
naitsirk Напреднал
Регистриран на: 03 Jul 2008 Мнения: 295 Местожителство: Казанлък
  гласове: 34
|
Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:03 pm Заглавие: |
|
|
искаш да кажеш, че за a2 < 14/8 няма решение ли
ако правилно съм разбрал това не е така, защото за a=1 си има решение. Всъщност дори и в този частен случай задачата е интересна така, че ново задание:
Да се реши уравнението за a=1  |
|
Върнете се в началото |
|
 |
martosss VIP Gold

Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow
   гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 1:37 pm Заглавие: |
|
|
да, получава се, че функцията [tex]f(t)=\frac{t^3-t}{2t-1}=\frac{1}{8}\left(4t^2+2t-3\right)-\frac{3}{8(2t-1)}[/tex] при t≥1 приема всички неотрицателни стойности, тоест за всяко а≥0 ще има решение. Лошото е, че не мога да го открия. |
|
Върнете се в началото |
|
 |
naitsirk Напреднал
Регистриран на: 03 Jul 2008 Мнения: 295 Местожителство: Казанлък
  гласове: 34
|
Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 2:23 pm Заглавие: |
|
|
стигаш до [tex]t^3-(2\sqrt{a}+1 )t+\sqrt{a}=0 [/tex]
Забелязваме, че [tex]f(0)=\sqrt{a}>0 [/tex] и [tex]f(1)=-\sqrt{a} [/tex], т.е. уравнението има решение в интервала (0,1) и се сещаме да положим [tex]cos\alpha =t[/tex] уравнението добива вида: [tex]cos^3\alpha -(2\sqrt{a}+1 )cos\alpha +\sqrt{a}=0 [/tex] При a=1 това полагане върши работа,но в общия случай трябва да помисля още... |
|
Върнете се в началото |
|
 |
martosss VIP Gold

Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow
   гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 2:38 pm Заглавие: |
|
|
Ми ти имаш t≥1, така че с това полагане само t=1 ти върши работа
Иначе имаш t³-t-√a(2t-1)=0
Сега t като расте, а също расте, така че да го "неутрализира" и така винаги има решение за t>1 |
|
Върнете се в началото |
|
 |
naitsirk Напреднал
Регистриран на: 03 Jul 2008 Мнения: 295 Местожителство: Казанлък
  гласове: 34
|
Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 2:51 pm Заглавие: |
|
|
martosss написа: | Ми ти имаш t≥1, така че с това полагане само t=1 ти върши работа
Иначе имаш t³-t-√a(2t-1)=0
Сега t като расте, а също расте, така че да го "неутрализира" и така винаги има решение за t>1 |
това ясно, но ако намерим корена в интервала (0,1) ще можем да разложим уравнението и от квадратното да намерим другите 2 които вече са корени на първоначалното  |
|
Върнете се в началото |
|
 |
martosss VIP Gold

Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow
   гласове: 213
|
Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 8:23 pm Заглавие: |
|
|
naitsirk написа: | martosss написа: | Ми ти имаш t≥1, така че с това полагане само t=1 ти върши работа
Иначе имаш t³-t-√a(2t-1)=0
Сега t като расте, а също расте, така че да го "неутрализира" и така винаги има решение за t>1 |
това ясно, но ако намерим корена в интервала (0,1) ще можем да разложим уравнението и от квадратното да намерим другите 2 които вече са корени на първоначалното  |
Аз доказвам, че [tex]t\ge 1[/tex], откъдето този корен не ти върши работа, тоест t=0 е единственото решение(освен ако у-ето от трета степен няма други корени, които са по-големи от 1).  |
|
Върнете се в началото |
|
 |
naitsirk Напреднал
Регистриран на: 03 Jul 2008 Мнения: 295 Местожителство: Казанлък
  гласове: 34
|
Пуснато на: Thu Aug 13, 2009 8:48 pm Заглавие: |
|
|
е и аз това казах въпреки, че този корен няма да води до корен на първоначалното уравнение уравнението от 3-та степен ще стане квадратно и ще могат да се изследват корените му в зависимост от стойностите на параметъра... |
|
Върнете се в началото |
|
 |
martosss VIP Gold

Регистриран на: 17 Mar 2007 Мнения: 3937 Местожителство: Somewhere over the rainbow
   гласове: 213
|
Пуснато на: Fri Aug 14, 2009 11:59 am Заглавие: Re: Параметрично уравнение |
|
|
Сигурен ли си, че условието не е [tex]\sqrt{a+x+1-\sqrt{a}(x+1) }=x+1-\sqrt{a} [/tex] ? |
|
Върнете се в началото |
|
 |
naitsirk Напреднал
Регистриран на: 03 Jul 2008 Мнения: 295 Местожителство: Казанлък
  гласове: 34
|
|
Върнете се в началото |
|
 |
|