Броя на реалните ч. в [0, 0.5] е по-голям от този в [0, 1]?

[7:30]

Здравиейте : )

Започвайки да уча Анализ, в главата ми се зародиха доста въпроси, свързани с реалните числа.. ето ви един от тях:

Може ли да се докаже, че броя на реалните числа в интервала [0 , 0.5] е по-голям от броя на реалните числа в интервала [0, 1] или въобще не е вярно (или няма смисъл) да твърдим такова нещо??

От една страна, и двете множества (и двата интервала) имат безброй елементи, от друга - [0, 1] = [0 , 0.5] U [0.5 , 1].

Т.е. въпросът ми се свежда до следното:

Нека A и B са безкрйни неизброими множества.
1. Има ли смисъл сравняването на броя на елементите на A и B ?

Ако да:

2. Вярно ли е, че ако
A e подмнож. на B и
B не е подмн. на А =>

|B|>|A| (броя на елементите)

мерси предварително : )

[Реклама]

[martin.nikolov]

[7:30]

Еми щом последните две са верни, имаме:

Нека А = { x : x [tex]\in [/tex] R, 0 ≤ x ≤ 0.5 } , т.е. A = [0, 0.5]
Нека B = { x : x [tex]\in [/tex] R, 0 ≤ x ≤ 1 } , т.е. B = [0, 1]

A e подмнож. на B (очевидно всеки елемент на А е и на B)
B не е подмн. на А ( също очевидно - числото 0.6 например ) =>

|B| > |A|

къде е грешката?

Нещо повече, твърдя че за всеки елемент x от A, мога да посоча по два съответстващи на x елемента от B - x1 и x2 по правилото:
x1 = x
x2 = x + 0.5
например:

x = 0 = x1
x2 = 0.5

x = 0.10000001 = x1
x2 = 0.60000001

x = 0.5 = x1
x2 = 1

не значи ли това, че |B| = 2|A| (ако може такова нещо да се твърди за безкрайни неизброими множества), или поне, че |B| > |A| ?

[martin.nikolov]

Като си написал е подможество е написано нестрого и аз си мислех че се подразбира за какво става дума. Строго написано твърдението е ако А е биективно с подмножество на В и В не е биектвно с никое подмножество на А тогава имаме |A|<|B|.


В конкретния случай на двата интерелвал е вярно че имат еднакъв 'брой' елементи по-точно имат еднаква мощност.