Тригонометрично неравенство

[administrator]

Би ли могъл да докажеш това неравенсвто?

[a * cos(a * x) + a * cos(x)] - 2|a| <= 0

Благодаря предварително.

[Реклама]

[administrator]

Нека да напишем неравенството в по-удобен вид.
a.cos(ax) + a.cosx <= 2|a|

Сега целта ще ни е да докажем че лявата страна е винаги по-малка от дясната. За целта разглеждаме 3 случая.

I a=0 неравенството добива вида:
0.cos0 + 0.cosx <= 0 т.е. 0 <= 0 - винаги е вярно

II a < 0
В този случай |a| = -a и неравенството придобива вида:
a.cos(ax) + a.cosx <= -2a
a < 0 => можем да разделим двете страни на неравенството на а(тъй като а не е 0) и при това деление знака на неравенството ще се обърне понеже числото е отрицателно т.е.
cos(ax) + cosx >= -2
Ние знаем, че фукнцията cos се мени в интервала [-1, 1]
=> в най-лошия случай може да имаме
-1 + (-1) >= -2 - пак е вярно неравенството

||| a > 0 тогава |a| = a и неравенството добива вида:
acos(ax) + acos(x) <= 2a
пак делим двете страни на неравенството на а и тъй като е положително число знака на неравенството не се сменя. т.е.
cos(ax) + cos(x) <= 2
ясно е, че и това е изпълнено понеже в най-лошия случай може да имаме:
1 + 1 <= 2

[inv]

Благодаря ти!

[cmath]

Страхотна задача!Достойна да бъде задача № 10 от тема по математика в СУ.Бих ли могъл да постнеш и други подобни?

[glupaviq]

елементарна е за СУ , тазигодишна ли е задачата ?? , викат че тази година задачите са по-лесни от миналогодишни , другата година ще кандидаствам там , ама нз какви ще са , дали като тазигогишни или кат миналите години