Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство с условие


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
krainik
Фен на форума


Регистриран на: 01 May 2009
Мнения: 697

Репутация: 51.8
гласове: 44

МнениеПуснато на: Tue Aug 11, 2009 8:53 am    Заглавие: Неравенство с условие

Дадени са [tex]a,b,c,d\in\mathbb{R}[/tex], удовлетворяващи [tex]a^2+b^2+c^2+d^2=4[/tex]. Да се докаже, че [tex]a^3+b^3+c^3+d^3\le 8[/tex].
Вярно е и обобщението: Ако [tex]a_{1},a_{2},...,a_{n},p\in\mathbb{R}[/tex] и [tex]m,s\in\mathbb{N}[/tex], и [tex]\sum_{i=1}^n a_{i}^{2s}=p^{2s}[/tex], то [tex]\sum_{i=1}^n a_{i}^m\le p^m[/tex] за всяко [tex]m\ge 2s[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Aug 11, 2009 11:05 am    Заглавие: Re: Неравенство с условие

krainik написа:
Дадени са [tex]a,b,c,d\in\mathbb{R}[/tex], удовлетворяващи [tex]a^2+b^2+c^2+d^2=4[/tex]. Да се докаже, че [tex]a^3+b^3+c^3+d^3\le 8[/tex].
Вярно е и обобщението: Ако [tex]a_{1},a_{2},...,a_{n},p\in\mathbb{R}[/tex] и [tex]m,s\in\mathbb{N}[/tex], и [tex]\sum_{i=1}^n a_{i}^{2s}=p^{2s}[/tex], то [tex]\sum_{i=1}^n a_{i}^m\le p^m[/tex] за всяко [tex]m\ge 2s[/tex].

Ок, първо ще реша самата задача, после и обобщението(по същия начин):
По условие [tex]2(a^2+b^2+c^2+d^2)=8[/tex]
Тогава е достатъчно да докажем, че [tex]a^3+b^3+c^3+d^3\le 2(a^2+b^2+c^2+d^2)[/tex]
Което е еквивалентно на
[tex]a^2(a-2)+b^2(b-2)+c^2(c-2)+d^2(d-2)\le 0[/tex]
Сега от условието имаме, че [tex]a^2\le a^2+b^2+c^2+d^2=4\Right a^2\le 2^2\Right a\le 2[/tex], , аналогично a,b,c,d≤2 откъдето горното е изпълнено.



Аналогично се решава и обобщението:

[tex]\left(\sum_{i=1}^n a^{2s}_i\right)*p^{m-2s}=p^m[/tex]
Оттук за неравенството е достатъчно да докажем, че
[tex]\sum_{i=1}^n a_i^m\le \left(\sum_{i=1}^n a^{2s}_i\right)*p^{m-2s}[/tex]
Сега прехвърляме всичко от лявата страна и групираме всяко "а" отляво с всяко "а" отдясно:
[tex]\sum_{i=1}^n a_i^{2s}\left(a_i^{m-2s}-p^{m-2s}\right)\le 0[/tex]

Сега от условието имаме [tex]a_i\le p[/tex], откъдето горното е изпълнено. Smile
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.