Нехомогенно неравенство

[Pinetop Smith]

Ако a, b, c ≥ 0, да се докаже, че

[tex]a^2 + b^2 + c^2 + 2abc + 1 \ge 2(ab + bc + ca)[/tex]

[Реклама]

[martosss]

При a=b=c=1 имаме равенство.
Б.О.О. нека a,b≥1 или a,b≤1 =>

(1-a)(1-b)≥0 =>
1≥a+b-ab

От СА-СГ
c²+1≥2c = 2c*1≥2c(a+b-ab)

c²+1≥2ac+2bc-2abc
c²+2abc+1≥2ac+2bc
Сега остана да отбележим от СА-СГ, че
a²+b²≥2ab
И да съберем двете неравенства, при което получаваме търсеното:
a²+b²+c²+2abc+1≥2(ab+bc+ac)