Колинеарност на точки

krainik

Даден е произволен [tex]n[/tex]-ъгълник [tex]A_{1}....A_{n}[/tex]. С [tex]B_{i}[/tex] означаваме средaта на страната [tex]A_{i}A_{i+1}[/tex]. Избрана е произволна точка [tex]M[/tex] в равнината.С [tex]M_{i}[/tex] означаваме симетричната на [tex]M_{i-1}[/tex] относно [tex]B_{i}[/tex]([tex]M_{0}\equiv M[/tex]). Да се докаже, че [tex]M,A_{1}[/tex] и [tex]M_{n}[/tex]лежат на една права.

Реклама

zhivko_sh · Пуснато на: Mon Aug 10, 2009 9:23 pm Заглавие:

Ако на [tex] A_{1},...,A_{n}[/tex] съответстват комплексни числа [tex] a_{1},...,a_{n}[/tex] и на [tex] M_{0},...,M_{n}[/tex] - [tex] m_{0},...,m_{n}[/tex], то получаваме: [tex] a_{i}+a_{i+1}=m_{i-1}+m_{i}[/tex] за i=1,...,n. Оттук лесно се вижда, че или [tex]a_{1}-m_{0}=a_{1}-m_{n} ili a_{1}-m_{0}=-(a_{1}-m_{n}) [/tex] . И в двата случая точките са колинеарни. QED

r2d2 · Пуснато на: Wed Aug 12, 2009 1:04 pm Заглавие:

Ще използвам следните твърдения:

1. Композицията на две централни симетрии е транслация
2. Композицията на транслация и централна симетрия е централна симетрия. (Катринката е достатъчно ясна.)

Ако средите са четен брой. Ясно е, че композицията на четен брой централни симетрии е транслация.

Ако средите са нечетно число - получаваме центр. симетрия.

Очевидно А1 е неподвижна точка и в двата случая.
При четен брой - преобразованието е идентитет (транслация с неподвижна точка) и М съвпада с образа си.

При нечетен - преобр. е центр. симетрия относно А. А е средата на М и образа й.