Регистрирайте сеРегистрирайте се

Пирамида


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Sat Aug 08, 2009 5:34 pm    Заглавие: Пирамида

За всички които скучаят през лятото една задачка за загрявка Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Sat Oct 10, 2009 7:14 pm    Заглавие:

а) Нека [tex]NK=a, \, AN=3a[/tex] и [tex]\angle CAK=\angle BAK=\varphi[/tex]. Тогава [tex]\angle ABC=2\varphi[/tex]. Всички равни ъгли са означени на втората картинка. По синусовата теорема за [tex]\triangle ABN[/tex] получаваме [tex]\frac{BN}{sin\varphi}=\frac{3a}{sin 2\varphi} \Leftrightarrow BN=\frac{3a}{2 cos\varphi} \, (*)[/tex]. Сега се вижда, че [tex]\triangle AKC \sim \triangle ABN \Rightarrow \fbox{\frac{AK}{AB}=\frac{KC}{BN}}=\frac{AC}{AN} \Leftrightarrow BN=\frac{AB.KC}{AK}[/tex]. Отново по синусовата теорема за [tex]\triangle ABN[/tex] определяме [tex]\frac{AB}{sin 3\varphi}=\frac{3a}{sin 2\varphi} \Leftrightarrow AB=\frac{3a sin 3\varphi}{sin 2\varphi}[/tex], а от синусовата за [tex]\triangle CKN \ - \ \frac{KC}{sin 3\varphi}=\frac{a}{sin\varphi} \Leftrightarrow KC=\frac{a sin 3\varphi}{sin\varphi}[/tex]. Вече [tex]BN=\frac{3a sin 3\varphi sin 3\varphi}{4 sin\varphi sin 2\varphi} \, (**)[/tex]. Приравняваме десните страни на [tex](*)[/tex] и [tex](**)[/tex] и след съкращаване достигаме до тригонометричното уравнение [tex]sin^2 3\varphi = 4 sin^2\varphi[/tex]. Ние знаем, че [tex]sin 3\varphi = sin(2\varphi+\varphi) = sin 2\varphi cos\varphi + cos 2\varphi sin\varphi = 2 sin\varphi cos\varphi cos\varphi + cos 2\varphi sin\varphi = sin\varphi ( 2 cos^2\varphi + cos 2\varphi )[/tex]. Заместваме този израз в уравнението и [tex]\Rightarrow sin^2\varphi ( 2 cos^2\varphi + cos 2\varphi )^2 = 4 sin^2\varphi \Leftrightarrow ( 2 cos^2\varphi + cos 2\varphi )^2 = 4[/tex]. Оттук [tex]2 cos^2\varphi + cos 2\varphi = 2 \Leftrightarrow 4 cos^2\varphi=3 \Leftrightarrow cos\varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] (защото [tex]\varphi[/tex] е остър ъгъл), т. е. [tex]cos\varphi = cos 30^\circ \Leftrightarrow \varphi = 30^\circ \Leftrightarrow \fbox{2\varphi = 60^\circ}[/tex]. Получихме, че ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са по [tex]60^\circ[/tex] – или [tex]\triangle ABC[/tex] е равностранен.
б) Нека равнината на сечението е [tex]\lambda[/tex]. Тогава пресечницата на [tex]\lambda[/tex] с основата на пирамидата е отсечката [tex]AN[/tex]. По условие [tex]\lambda || CS[/tex]. Ето защо [tex]\lambda[/tex] ще пресече стената [tex]BCS[/tex] в права, успоредна на [tex]CS[/tex] и съдържаща точката [tex]N[/tex]. През [tex]N[/tex] построяваме [tex]NT||CS, \, T \in BS[/tex]. От картинката се вижда, че пресечницата на [tex]\lambda[/tex] със стената [tex]ABS[/tex] е отсечката [tex]AT[/tex]. Сечението е [tex]\triangle ANT[/tex]. Ъгълът между равнините [tex]ABC[/tex] и [tex]ANT[/tex] е [tex]\angle BNT=\alpha[/tex]. Нека [tex]BN=CN=m \Rightarrow AC=AB=2m[/tex]. От [tex]BN=CN[/tex] получаваме [tex]BS=CS[/tex] (равните наклонени имат равни проекции). Понеже [tex]NT||CS[/tex], то [tex]\angle BNT=\angle BCS=\alpha \Rightarrow \angle CBS=\alpha[/tex]. От [tex]\triangle BNT[/tex] по синусовата теорема намираме [tex]BT=NT=\frac{m}{2 cos\alpha} \Leftrightarrow CS=\frac{m}{cos\alpha}[/tex], а от правоъгълния [tex]\triangle CNS \ - \ NS=h=m \tan\alpha[/tex]. Ясно е, че [tex]AN=m\sqrt{3}[/tex]. Тогава от [tex]\triangle ANT[/tex] намираме [tex]m^2=\frac{16 cos^2\alpha}{12 cos^2\alpha + 1} \Leftrightarrow m=\frac{4 cos\alpha}{\sqrt{12 cos^2\alpha + 1}}[/tex]. Вече имаме всички необходими величини, за да изчислим търсения обем. Той е [tex]V=\frac{1}{3}Bh \Leftrightarrow V=\frac{1}{3}.\frac{AN.BC}{2}.h[/tex]. Заместваме получените числови стойности и определяме окончателно обема на пирамидата: [tex]V=\frac{32\sqrt{3} sin 2\alpha cos\alpha}{3(12 cos^2\alpha + 1) \sqrt{12 cos^2\alpha + 1}}[/tex].



Окръжност, описана около основата на триъгълна пирамида.png
 Description:
 Големина на файла:  24.52 KB
 Видяна:  1951 пъти(s)

Окръжност, описана около основата на триъгълна пирамида.png



Равнобедрен триъгълник, вписан в окръжност.png
 Description:
 Големина на файла:  18.49 KB
 Видяна:  1951 пъти(s)

Равнобедрен триъгълник, вписан в окръжност.png


Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.