уравнение

[SleepWalker]

f(x) =2^2cosx -3a2^cosx+2a²
За кои ст-ти на а, уравнението f(x)=0 има решение?

[Реклама]

[_sssss]

[tex]\normal 2^{cosx}=t\in[\frac{1}{2};2] \\ f(t)=t^2 - 3at + 2a^2[/tex]

И сега трябва да провериш кога f(t)=0 има едно или две решения в [tex]\normal [\frac{1}{2};2][/tex].

[martosss]

след като положиш горното получаваш (t-2а)(t-а)=0 и търсиш кога това има решения. Очевидно решенията за t са t=2a или t=a. Сега знаеш, че [tex]-1\le \cos x\le 1\Right 2^{-1}\le 2^{\cos x}\le 2^1\Right \frac{1}{2}\le 2^{\cos x}\le 2[/tex]
Сега за да има поне едно решение е нужно да е изпълнено
[tex]\frac{1}{2}\le 2a\le 2\cup \frac{1}{2}\le a\le 2[/tex], откъдето
[tex]\frac{1}{4}\le a\le 4\cup \frac{1}{2}\le a\le 2 \Right \fbox{a\in \left(\frac{1}{4}\: ;\: 4\right)}[/tex]

[SleepWalker]

ЕЕе супер. Аз закъсах на този фокус със решенията
Мерси многоо ))

[SleepWalker]

Btw същата задача има подточка- Намерете най-голямата и най-малката ст-т на f(x).
В отговора са посочени 3 случая ( 3 интервала за а)

[_sssss]

Върхът е при 3a/2 и проверяваш къде е, спрямо интервала.

[tex]\normal \frac{3a}{2} \in \[\frac{1}{2};2\] \Rightarrow min=f\(\frac{3a}{2}\); \; max=max\(f\(\frac{1}{2}\); \, f(2)\)[/tex]

[tex]\normal \frac{3a}{2} \in \(-\infty;\frac{1}{2}\] \Rightarrow min=f\(\frac{1}{2}\); \; max=f(2)[/tex]

[tex]\normal \frac{3a}{2} \in [2; +\infty) \Rightarrow min =f(2); \; max=f\(\frac{1}{2}\)[/tex]