Регистрирайте сеРегистрирайте се

Система


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Aug 05, 2009 7:06 pm    Заглавие: Система

Да се реши (в реални числа) системата:

[tex] (x^{2}-6x+13)y = 20\\ (y^{2}-6y+13)z = 20\\ (z^{2}-6z+13)x = 20[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Aug 05, 2009 9:44 pm    Заглавие:

Малко ме мързи да пиша решението, но отговора е [tex]x=y=z=4[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ins-
Фен на форума


Регистриран на: 03 Oct 2007
Мнения: 567
Местожителство: Роман, София
Репутация: 56.6
гласове: 28

МнениеПуснато на: Wed Aug 05, 2009 9:50 pm    Заглавие:

Точно изписването е интересно ... там се виждат грешките, а за опитен математик тази система е играчка. Пуснах я да се повеселят хората, а и изглежда красиво.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Wed Aug 05, 2009 10:35 pm    Заглавие:

ins- написа:
Точно изписването е интересно ... там се виждат грешките, а за опитен математик тази система е играчка. Пуснах я да се повеселят хората, а и изглежда красиво.


Какво ще рече това? Смяташ, че имам грешки ли? Сега ще ме караш да си го проверявам.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Aug 05, 2009 10:46 pm    Заглавие: Re: Система

ins- написа:
Да се реши (в реални числа) системата:

[tex] (x^{2}-6x+13)y = 20 \;\;\; (1)\\ (y^{2}-6y+13)z = 20\;\;\; (2)\\ (z^{2}-6z+13)x = 20\;\;\; (3)[/tex]

Тъй като [tex](x^2-6x+13)y=((x-3)^2+4)y=20[/tex], то следва [tex]0\le y\le 5[/tex], аналогично за другите две имаме [tex]0\le x,z\le 5[/tex]. Оттук [tex]0\le x,y,z\le 5[/tex].
Сега при тези ДС за (1) имаме ,че [tex]4\le 4(x-3)^2+4\le 13 \Right {20\over 13}\le y\le 5.[/tex] Аналогично за другите уравнения и получаваме [tex]{20\over 13}\le x,y,z\le 5[/tex].
Сега за тези ДС имаме [tex]4\le 4(x-3)^2+4\le 8\Right 2.5\le y\le 5.[/tex]
Аналогично и за другите, откъдето получаваме [tex]2.5\le x,y,z\le 5[/tex]


Проверяваме, че x=y=z=4 е решение.
Да допуснем, че [tex]x< 4[/tex], тогава от [tex](3)[/tex] имаме [tex](z-3)^2+4>5 => z>4.[/tex]
Оттук от [tex](2)[/tex] имаме [tex](y-3)^2+4<5 => y<4[/tex].
Сега за (1) [tex]((x-3)^2+4)y<5*4=20[/tex], откъдето получаваме противоречие, тоест [tex]x\ge 4[/tex]
По аналогичен начин [tex]\le 4[/tex], откъдето x=4. Аналогично и за останалите две променливи. Оттук x=y=z=4 е единственото решение.

Надявам се прекалено честата употреба на "аналогично" да не е проблем Rolling Eyes
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Thu Aug 06, 2009 3:42 pm    Заглавие:

Сега може да се търсят и комплексни решения. Когато неизвестните са равни имаме единственото реално решение 4 и две комплексни [tex]1\pm2i[/tex]. Въпроса е да се намерят другите, ако има други.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.