Точки на една права

[Пафнутий]

Даден е триъгълник [tex]ABC[/tex]. С [tex]H[/tex] е означена проекцията на [tex]C[/tex] върху [tex]AB[/tex]. Средата на отсечката от диаметъра на описаната окръжност през върха [tex]C[/tex], заключена между [tex]C[/tex] и [tex]AB[/tex], пък бележим с [tex]M[/tex]. Да се докаже, че центъра на 9-точковата окръжност за триъгълник [tex]ABC[/tex] лежи на правата [tex]HM[/tex].

[Реклама]

[Pinetop Smith]

Това е случаят, когато <А и <В са остри. Предполагам, че когато един от тях е тъп, ще е аналогично.

Нека АС > ВС, диаметърът пресича АВ в F, К и L са среди съответно на ВС и АС и симетралата на КН пресича НМ в S. Лесно получаваме, че K, L и М лежат на една права и <KLH = a. Освен това <MCH = b-a, <HCK = 90 - b => <MHK = 90 - a. Тъй като триъгълникът KSH е равнобедрен, то <KSH = 2a, откъдето S e център на окръжността, описана около тр. КHL.

[inimitably]

Означаваме с [tex]H'[/tex] ортоцентъра на [tex]ABC[/tex] , средата на [tex]AB[/tex] с [tex]M'[/tex] , както и с [tex]U[/tex] средата на [tex]CH'[/tex].Нека [tex]CO\cap AB=C',CO\cap (O)=Q[/tex]

Понеже [tex]AH'\bot BC,BQ\bot BC,BH'\bot AC,AQ\bot BC[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AH'||BQ,BH'||AQ[/tex] , т.е. [tex]H',M',Q[/tex] са на една права

и [tex]H'M'=QM'[/tex] , тогава [tex]UM'||OC[/tex]

Ясно е , че центърът на окр. [tex]N[/tex] на 9-те точки е среда на [tex]UM'[/tex] , тогава очевидно [tex]H,N,M[/tex] са на една права.