Регистрирайте сеРегистрирайте се

УАСГ 2005


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Tue Aug 04, 2009 10:20 pm    Заглавие: УАСГ 2005

Темата е от симулативен изпит в УАСГ през 2005 г. Според мен си заслужава вниманието така, че ако не сте я решавали нападайте Laughing Laughing
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Wed Aug 05, 2009 9:32 am    Заглавие:

Тези задачи наистина са хубави! Twisted Evil Да постваме ли решения?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
naitsirk
Напреднал


Регистриран на: 03 Jul 2008
Мнения: 295
Местожителство: Казанлък
Репутация: 57.7
гласове: 34

МнениеПуснато на: Wed Aug 05, 2009 9:45 am    Заглавие:

да Wink Всяко решение ще е полезно
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Aug 06, 2009 6:32 pm    Заглавие:

Задача 1, (а). [tex]\sqrt{3-x}-\sqrt{x}>\frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow \text{ ДМ} \begin{array}{||}3-x\ge 0 \\ x\ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x\le 3 \\ x\ge 0 \end{array}[/tex]

Освобождаваме се от знаменателя и получаваме равносилното неравенство

[tex]\sqrt{15-5x}-\sqrt{5x}>1[/tex],

откъдето [tex]\sqrt{15-5x}>1+\sqrt{5x}[/tex].

Повдигаме двете страни на последното на втора степен и получаваме еквивалентното (защо)

[tex]15-5x>1+2\sqrt{5x}+5x \Leftrightarrow \sqrt{5x}<7-5x[/tex].

Сега, очевидно при [tex]7-5x<0 \Leftrightarrow x>\frac{7}{5}[/tex] няма да имаме никакви решения. При [tex]7-5x\ge 0 \Leftrightarrow x\le \frac{7}{5}[/tex] пак повдигаме на квадрат и достигаме до

[tex]5x<(7-5x)^2 \Leftrightarrow 25x^2-75x+49>0[/tex],

чиито решения са [tex](-\infty; \frac{15-\sqrt{29}}{10}) \cup (\frac{15+\sqrt{29}}{10};+\infty)[/tex], откъдето [tex]x\in (-\infty; \frac{15-\sqrt{29}}{10})[/tex] (заради [tex]x\le \frac{7}{5})[/tex], а предвид допустимите стойности – [tex]x\in [0; \frac{15-\sqrt{29}}{10})[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Aug 06, 2009 7:29 pm    Заглавие:

Spider Iovkov написа:
Задача 1, (а). [tex]\sqrt{3-x}-\sqrt{x}>\frac{1}{\sqrt{5}} \Rightarrow {\cyr D.M.} \begin{array}{||}3-x\ge 0 \\ x\ge 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{||}x\le 3 \\ x\ge 0 \end{array}[/tex]

Ето ти още едно решение, мисля по-кратко. Wink
от даденото имаме, че [tex]\sqrt{3-x}-\sqrt{x}>\frac{1}{\sqrt{5}} >0\Right \sqrt{3-x}-\sqrt x>0 \Right 3-x>x\Right x<\frac{3}{2}[/tex]
Сега повдигаме на квадрат и двете страни, като сме сигурни, че са неотрицателни:
[tex]3 {-x}-2\sqrt{(3-x)x}+ x>\frac{1}{5}\\\frac{7}{5}>\sqrt{(3-x)x}[/tex]
Повдигаме пак на квадрат:
[tex]25x^2-75x+49>0\\D=75^2-4*25*49=25(15^2-14^2)=25*29\\x_{1,2}=\frac{75\pm 5\sqrt {29}}{50}=\frac{15\pm \sqrt{29}}{10}[/tex]
Оттук [tex]x\in (-\infty\: ;\: \frac{15- \sqrt{29}}{10})\cup (\frac{15+ \sqrt{29}}{10}\: ;\: +\infty )[/tex], но [tex]x\in [0\: ;\: \frac{3}{2})[/tex] И оттук след засичане на двата интервала получаваме [tex]x\in \left[0\: ;\: \frac{15-\sqrt{29}}{10}\right)[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Thu Aug 06, 2009 7:36 pm    Заглавие:

Мартос, дай да опукаме и другите задачи, Smile .
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Aug 06, 2009 8:36 pm    Заглавие:

[tex]\tan 2x +\frac{1}{\sin x}=\cot x +\frac{1}{\sin 5x}\;\;\;\;\; D.S. \cos 2x\ne 0,\; sinx\ne 0,\; \sin 5x\ne 0\\\frac{\sin 2x\sin x+\cos 2x-\cos x\cos 2x}{\cos 2x\sin x}=\frac{1}{\sin 5x}\\\frac{\cos 2x+\frac{1}{2}\left( {\cos x}-\cos 3x {-\cos x}-\cos 3x\right)}{\cos 2x\sin x}=\frac{1}{\sin 5x}\\\frac{\cos 2x-\cos 3x}{\cos 2x\sin x}=\frac{1}{\sin 5x}\\\frac{{2\sin \frac{x}{2}}\sin \frac{5x}{2}}{{2\sin \frac{x}{2}}\cos \frac{x}{2}\cos 2x}=\frac{1}{sin 5x}\\2\sin^2 {5x\over 2}\cos {5x\over 2}=\cos{x\over 2}\cos 2x\\2(1-\cos^2{5x\over 2})\cos{5x\over 2}=\frac{1}{2}(\cos{3x\over 2}+\cos{5x\over 2})\\3cos{5x\over 2}-4\cos^3{5x\over 2}=\cos{3x\over 2}\\-\cos{15x\over 2}=\cos{3x\over 2}\\2\cos{9x\over 2}\cos 3x=0\\x={\pi\over 9}+{2k\pi\over 9}\cup x={\pi\over 6}+{k\pi\over 3}[/tex]
И сега като засечем с ДС получаваме
[tex]x=t+2k\pi[/tex], където [tex]t=\frac{\pi}{9},\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{9},\frac{7\pi}{9}, \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{9}, \frac{13\pi}{9}, \frac{15\pi}{9}, \frac{11\pi}{6}, \frac{17\pi}{9};\;\; k\in Z[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Thu Aug 06, 2009 11:33 pm    Заглавие:

Задача 2.
a) [tex]D=(2a-5)^2\Rightarrow x_1=2a, x_2=5[/tex]

1.
[tex]2a\ge 5\Rightarrow a\ge \frac{5}{2}\\2a-5<a\\a<5\Right \fbox{a\in\left[\frac{5}{2}\: ;\: 5\right)}[/tex]

2.
[tex]2a<5\Rightarrow a<\frac{5}{2}\\ 5-2a<a\\a>\frac{5}{3}\Rightarrow \fbox{a\in\left(\frac{5}{3}\: ;\: \frac{5}{2}\right)}[/tex]

Окончателно [tex]a\in \left(\frac{5}{3}\: ;\: 5\right)[/tex]

б) D.S. x>-2/3, x≠-1/3.

[tex]log_{3x+2} (x^2-3x+7)<1\\3x+2>x^2-3x+7\\x^2-6x+5<0\\(x-1)(x-5)<0\\x\in(1\: ;\: 5)[/tex]

Тъй като вече сме намерили корените на f(x) - 5 и 2а, то е достатъчнода проверим за кои стойности на а f(x)<0 е изпълнено за х в горния интервал.
Тъй като един от корените е 5, а пък решението на н-вото f(x)<0 е между двата корена, то е достатъчно да проверим кога другият корен(тоест 2а) е по-малък или равен на 1:
2a≤1 => a≤½
С това задачата е решена.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Fri Aug 07, 2009 12:16 am    Заглавие:

Зад. 3
По условие AM=ME, освен това М е среда на ВС, откъдето ВМ=МС. В четириъгълника АВЕС диагоналите взаимно се разполовяват, откъдето той е успоредник.
Оттук следва, че AB||CE => <ABC=<BCE
Но <ABC=<AEC=дъгата(АFC). Оттук <MCE=<MEC, откъдето ▲МЕС е равнобедрен, откъдето ME=MC. Получихме, че в успоредника АВЕС диагоналите са равни, откъдето той е правоъгълник. Оттук АЕ и ВС се явяват диаметри и са равни на 2R.

По условие BK:KF=2:1. Нека си означим BK=2t, KF=t => от свойство на секущи => BK*KF=AK*KC => 2t²=AK² => AK=t√2=KC.

Тогава от теоремата на Питагор за ▲АВК намираме АВ=АК=t√2, откъдето триъгълник АВК е равнобедрен правоъгълен => <AKB=45
От теоремата на Питагор за триъгълник АВС имаме 4R²=2t²+8t² => t²=2R/5.

Тогава лицето на АВС става AC*AB/2=(t√2*2t√2)/2=2t²=4R²/5

Сега за триъгълник AKF знаем KF=t, AK=t√2, <AKF=135, откъдето чрез кос. теорема намираме AF²=5t²=2R² => AF=R√2
Ако от центъра на вписаната в АВС окръжност О спуснем перпендикуляри към АВ и АС, съответно ОХ и ОУ, то полученият четириъгълник ОХАУ има две равни страни ОХ=ОУ=r и три прави ъгъла, откъдето е ОХАУ е квадрат => OX=r=AX, но АХ е допирателна отсечка в АВС => [tex]r=AX=(AB+AC-BC)/2=(t\sqrt 2+2t\sqrt 2-2R)/2=R\left(\frac{3}{\sqrt 5}-1\right)[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.