Задача за упражнение

[ганка симеонова]

Задача за упражнение, относно http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=11262

Нека [tex]A_3; G_3; K_3 [/tex] са съответните средни на положителните числа a,b,c. (средно аритметично, геометрично, квадратично).
Да се докаже, че

[tex]3A_3\ge 2G_3+K_3 [/tex]

[Реклама]

[krainik]

Хомогенно е. Полагаме [tex]a+b+c=1,ab+bc+ca=q,abc=r[/tex]. Н-вото ще го разгледаме като функция на [tex]q[/tex] при фиксирано [tex]r\in (0,\frac{1}{27}][/tex].То е еквивалентно на:
[tex]f(q)=q+6r^{\frac{2}{3}}-6r^{\frac{1}{3}}+1\ge0[/tex]. Очевидно [tex]f(q)[/tex] е растяща и остава да докажем, че [tex]f_{min}(q)=f(\sqrt{3r})\ge 0[/tex]. От друга страна, [tex]f(\sqrt{3r})=r^{\frac{1}{3}}(r^{\frac{1}{6}}-\frac{\sqrt{3}}{2})(r^{\frac{1}{6}}-\frac{sqrt{3}}{3})+(1-3r^{\frac{1}{3}})\ge 0[/tex], като равенство се достига при [tex]r^{\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow r=\frac{1}{27}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/tex], откъдето равенство се достига винаги при [tex]a=b=c[/tex].

[ганка симеонова]

Точно и ясно