Регистрирайте сеРегистрирайте се

Смяна на променливите


 
   Форум за математика Форуми -> Теория свързана с олимпиади
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sun Aug 02, 2009 12:40 pm    Заглавие: Смяна на променливите

За хомогенните неравенства [tex]P(a,b,c)\ge 0 [/tex], където [tex]a,b,c>0 [/tex], може да се приложи следния общ подход.
1) Проверяваме неравенството за [tex]a=b=c [/tex]
2) Нека поне две от числата са различни. Тогава горното неравенство може да се сведе до неравенство от вида[tex]f(q, r)\ge 0[/tex], където [tex]ab+bc+ca=q; abc=r [/tex](можем да сичтаме, че [tex]a+b+c=1[/tex])
Разглеждаме [tex]f(q,r)[/tex] като функция на q, при фиксирано [tex]r\in (0; \frac{1}{27 } )[/tex], по- точно [tex]q\in (\sqrt{3r} ;\frac{1+9r}{4 } )[/tex]
По- отдолу вместо [tex]f(q,r) [/tex] ще пишем [tex]f(q) [/tex]

За [tex]a,b,c>0 [/tex] да се докаже
[tex]\frac{1}{1+a } +\frac{1}{1+b } +\frac{1}{1+c } \le \frac{3(ab+bc+ca)}{3abc+ab+bc+ca } [/tex]

Неравенството е еквивалентно на [tex]f(q)=2g^2+q-15r [/tex]За[tex]a=b=c [/tex] се достига равенство.

Разглеждаме [tex]f(q); q\in (\sqrt{3r} ;\frac{1+9r}{4 } )[/tex]Имаме[tex]f'(q)=4q+1>0=> [/tex]
Функцията е растяща и е достатъчно да докажем, че[tex]f(\sqrt{3r}) \ge 0 [/tex]
[tex]f(\sqrt{3r})=\sqrt{3r}(1-3\sqrt{3r} )>0; r\in (0, \frac{1}{ 27} )[/tex], откъдето следва и даденото неравенство.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Теория свързана с олимпиади Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.