За хомогенните неравенства [tex]P(a,b,c)\ge 0 [/tex], където [tex]a,b,c>0 [/tex], може да се приложи следния общ подход.
1) Проверяваме неравенството за [tex]a=b=c [/tex]
2) Нека поне две от числата са различни. Тогава горното неравенство може да се сведе до неравенство от вида[tex]f(q, r)\ge 0[/tex], където [tex]ab+bc+ca=q; abc=r [/tex](можем да сичтаме, че [tex]a+b+c=1[/tex])
Разглеждаме [tex]f(q,r)[/tex] като функция на q, при фиксирано [tex]r\in (0; \frac{1}{27 } )[/tex], по- точно [tex]q\in (\sqrt{3r} ;\frac{1+9r}{4 } )[/tex]
По- отдолу вместо [tex]f(q,r) [/tex] ще пишем [tex]f(q) [/tex]
За [tex]a,b,c>0 [/tex] да се докаже
[tex]\frac{1}{1+a } +\frac{1}{1+b } +\frac{1}{1+c } \le \frac{3(ab+bc+ca)}{3abc+ab+bc+ca } [/tex]
Неравенството е еквивалентно на [tex]f(q)=2g^2+q-15r [/tex]За[tex]a=b=c [/tex] се достига равенство.
Разглеждаме [tex]f(q); q\in (\sqrt{3r} ;\frac{1+9r}{4 } )[/tex]Имаме[tex]f'(q)=4q+1>0=> [/tex]
Функцията е растяща и е достатъчно да докажем, че[tex]f(\sqrt{3r}) \ge 0 [/tex]
[tex]f(\sqrt{3r})=\sqrt{3r}(1-3\sqrt{3r} )>0; r\in (0, \frac{1}{ 27} )[/tex], откъдето следва и даденото неравенство. |
Меню
Регистрирайте се
