Пак неравенство

[ганка симеонова]

Да се докаже, че ако [tex]x,y,z>0[/tex]и [tex]x+y+z+2\ge xyz [/tex], то

[tex]xy+yz+zx\ge \frac{3}{2 } xyz [/tex]

[Реклама]

[mousehack]

[tex]1) xyz\le 8[/tex]
Сега от СА-СГ получаваме,че [tex]xy+yz+zx\ge 3\sqrt[3]{(xyz)^2} [/tex]
Нека предположим,че [tex]3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}\geq\frac{3}{2}xyz[/tex]
Повдигаме на трета степен и получаваме: [tex]27(xyz)^{2}\geq\frac{27}{8}(xyz)^{3}[/tex]
След съкращаване,това е еквивалентно на [tex]xyz\leq 8[/tex] ,като това е случаят върху който работехме до сега.
[tex]=> xy+yz+zx\geq 3\sqrt[3]{(xyz)^{2}}\geq\frac{3}{2}xyz[/tex]

[tex]2) xyz\geq 8[/tex]
Сега от неравенството на Нютон получаваме: [tex]\left (\frac{xy+yz+zx}{3}\right )^{2}\geq\left (\frac{x+y+z}{3}\right ) (xyz)[/tex] ,което е еквивалентно на [tex](xy+yz+zx)^{2}\geq 3(x+y+z)xyz\ge 3(xyz-2)xyz[/tex].
Нека предположим,че [tex]3(xyz-2)xyz\geq\left (\frac{3}{2}xyz\right )^{2}[/tex]
След съкращаване стигаме до еквивалентното неравенство : [tex]4(xyz-2)\geq 3xyz[/tex] или получаваме [tex]xyz\geq 8[/tex] ,т.е. случаят върху който работим.
[tex] => (xy+yz+zx)^{2}\geq 3(x+y+z)xyz\geq 3(xyz-2)xyz\geq\left (\frac{3}{2}xyz\right )^{2}[/tex]
С което неравенството е доказано.

[mkmarinov]

[tex]x+y+z+2 \ge xyz <=> x+y+z+2 -xyz \ge 0[/tex]
[tex]x+y+z-xyz+2 \ge 3\sqrt[3]{xyz}-\sqrt[3]{xyz}^3+2 \ge 0[/tex]
[tex]\sqrt[3]{xyz}=t \ge 0[/tex]
[tex]-t^3+3t+2 \ge 0[/tex]
[tex]t^3-3t-2 \le 0[/tex]
[tex]t \le 2 <=> xyz \le 8[/tex]
Сега имам оценка за xyz; после преработвам неравенството в:
[tex]2(xy+yz+zx) \ge 3xyz[/tex]
[tex]xy+yz \ge 2y\sqrt{xz}[/tex]
Аналогично за другите две; след събиране:
[tex]2(xy+yz+zx) \ge 2y\sqrt{xz}+2z\sqrt{xy}+2x\sqrt{zy} \ge 3.2.\sqrt[3]{(xyz)^2}[/tex]
Трябва да се докаже, че това е >= 3xyz.
[tex]3.2.\sqrt[3]{(xyz)^2}\ge 3xyz /:3\sqrt[3]{xyz}^2[/tex]
[tex]\sqrt[3]{xyz} \le 2[/tex]
[tex]xyz \le 8[/tex], което е доказано.

Равенство при x=y=z=2