Гръцка задача

[ганка симеонова]

Права, минаваща през центъра I на вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex]окръжност, пресича описаната окръжност в точкитe F и G и вписаната окръжност в точките D и Е, като D е между I и F. Да се докаже, че [tex]DF.EG\ge r^2 [/tex], където r е радиусът на вписаната в[tex]\Delta ABC[/tex]окръжност. Кога се достига равенство?

[Реклама]

[Saposto_MM]

Нека [tex]DF=m[/tex], а [tex]R[/tex] е радиуса на описаната окръжност. Имаме [tex]EG=2R-2r-m[/tex]. Като заместим последното в [tex]DF\cdot EG\ge r^{2}[/tex] то се преобразува до [tex]m\left(2R-2r-m\right)\ge r^{2}[/tex]. Разглеждаме последното неравенство като квадратно относно [tex]m[/tex]. Уравнението [tex]m\left(2R-2r-m\right)=r^{2}[/tex] относно [tex]m[/tex] има корени [tex]m=-\sqrt{R^{2}-2Rr}+R-r[/tex] и [tex]m=\sqrt{R^{2}-2Rr}+R-r[/tex]. За да е вярно посленото неравенство [tex]m[/tex] трябва да лежи между последните две получени стойности. Нека [tex]O[/tex] е центъра на описаната окръжност за триъгълника. Тогава от една известна формула на Ойлер [tex]OI=\sqrt{R^{2}-2Rr}[/tex]. Значи искаме да докажем, че [tex]m\ge R-r-OI [/tex] и [tex]m\le R-r+OI [/tex]. Последните две неравенства са точно неравенства на триъгълника за [tex]\Delta FOI[/tex]. Равенство се достига, когато от една страна [tex]m+r=R+OI[/tex] откъдето следва, че [tex]O[/tex] лежи на отсечката [tex]IF[/tex]. От друга страна [tex]m+r+OI=R [/tex], от което следва, че [tex]I[/tex] лежи на отсечката [tex]OF[/tex]. Последните две са възможни, когато [tex]I\equiv O[/tex]. От тук намираме, че равенство се достига при равностранен триъгълник.

[r2d2]

[Saposto_MM]

Да, вярно! Заблудил съм се!

[Pinetop Smith]

Нека правата OI пресича окръжността в точки M и N, б.о.о. наредбата е M, O, I, N. Имаме

[tex]IF.IG = IM.IN = (R+OI)(R-OI) = R^2 - OI^2 = R^2 - (R^2 - 2rR) = 2rR[/tex]. От друга страна,

[tex]DF.EG \ge r^2 \leftrightarrow (IG-r)(IF-r) \ge r^2 \leftrightarrow IF.IG \ge r(IF + IG) \leftrightarrow 2rR \ge rGF \leftrightarrow OF + OG \ge GF,[/tex] което е ясно от неравенството на триъгълника. Равенство се достига, когато правата минава и през О.