Регистрирайте сеРегистрирайте се

Гръцка задача


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Sat Aug 01, 2009 10:10 am    Заглавие: Гръцка задача

Права, минаваща през центъра I на вписаната в [tex]\Delta ABC[/tex]окръжност, пресича описаната окръжност в точкитe F и G и вписаната окръжност в точките D и Е, като D е между I и F. Да се докаже, че [tex]DF.EG\ge r^2 [/tex], където r е радиусът на вписаната в[tex]\Delta ABC[/tex]окръжност. Кога се достига равенство?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Aug 04, 2009 3:25 pm    Заглавие:

Нека [tex]DF=m[/tex], а [tex]R[/tex] е радиуса на описаната окръжност. Имаме [tex]EG=2R-2r-m[/tex]. Като заместим последното в [tex]DF\cdot EG\ge r^{2}[/tex] то се преобразува до [tex]m\left(2R-2r-m\right)\ge r^{2}[/tex]. Разглеждаме последното неравенство като квадратно относно [tex]m[/tex]. Уравнението [tex]m\left(2R-2r-m\right)=r^{2}[/tex] относно [tex]m[/tex] има корени [tex]m=-\sqrt{R^{2}-2Rr}+R-r[/tex] и [tex]m=\sqrt{R^{2}-2Rr}+R-r[/tex]. За да е вярно посленото неравенство [tex]m[/tex] трябва да лежи между последните две получени стойности. Нека [tex]O[/tex] е центъра на описаната окръжност за триъгълника. Тогава от една известна формула на Ойлер [tex]OI=\sqrt{R^{2}-2Rr}[/tex]. Значи искаме да докажем, че [tex]m\ge R-r-OI [/tex] и [tex]m\le R-r+OI [/tex]. Последните две неравенства са точно неравенства на триъгълника за [tex]\Delta FOI[/tex]. Равенство се достига, когато от една страна [tex]m+r=R+OI[/tex] откъдето следва, че [tex]O[/tex] лежи на отсечката [tex]IF[/tex]. От друга страна [tex]m+r+OI=R [/tex], от което следва, че [tex]I[/tex] лежи на отсечката [tex]OF[/tex]. Последните две са възможни, когато [tex]I\equiv O[/tex]. От тук намираме, че равенство се достига при равностранен триъгълник.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Tue Aug 04, 2009 6:14 pm    Заглавие:

MM написа:
Нека [tex]DF=m[/tex], а [tex]R[/tex] е радиуса на описаната окръжност. Имаме [tex]EG=2R-2r-m[/tex].

Не е казано, че правата минава и през О.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Tue Aug 04, 2009 7:11 pm    Заглавие:

Да, вярно! Заблудил съм се!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Wed Aug 05, 2009 2:24 pm    Заглавие:

Нека правата OI пресича окръжността в точки M и N, б.о.о. наредбата е M, O, I, N. Имаме

[tex]IF.IG = IM.IN = (R+OI)(R-OI) = R^2 - OI^2 = R^2 - (R^2 - 2rR) = 2rR[/tex]. От друга страна,

[tex]DF.EG \ge r^2 \leftrightarrow (IG-r)(IF-r) \ge r^2 \leftrightarrow IF.IG \ge r(IF + IG) \leftrightarrow 2rR \ge rGF \leftrightarrow OF + OG \ge GF,[/tex] което е ясно от неравенството на триъгълника. Равенство се достига, когато правата минава и през О.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.