Неопределен интеграл (1/(1+exp(x)))dx

[s.karakoleva]

Когато прохождах в интегралите, най-силно ме впечатли елегантното решение на този интеграл:
[tex]\int\frac{1}{1+e^x}\, dx[/tex]

[Реклама]

[martin.nikolov]

Кое точно е елегантното решение? Интеграла е доста стнадартен, полагането [tex]t=1+e^x[/tex] го свежда до лесен за смятане.

Друг начин е да се добави и извади [tex]e^x[/tex] в числителя и се получава

[tex]\int\frac{1+e^x-e^x}{1+e^x}dx=\int dx- \int\frac{e^x}{1+e^x}dx[/tex].

И сега трябва само да се забележи, че подинтегралната фунция във втория интеграл е поизводната на [tex]\log(1+e^x)[/tex].

Но, както казах интересно ми е да видя елегантното решение.

[s.karakoleva]

[tex]\int \frac{1}{1+e^x}\, dx=\int \frac{1}{e^{x}(e^{-x}+1)}\, dx=\int \frac{e^{-x}}{e^{-x}+1}\, dx=-\int\frac{d(e^{-x}+1)}{e^{-x}+1}=c-\ln (e^{-x}+1)[/tex]

[martin.nikolov]

Горе долу същото като второто ми решение. Не виждам защо го наричаш елегантно и какво толкова те е впечетлило. Но щом ти харесва хубаво.

[ганка симеонова]

[martin.nikolov]

[илианко]

[martin.nikolov]