КОМБИНАТОРИКА

[froggggg]

Имаме три двойки близначки и три двойки близнаци, като всяка двойка близнаци е женена за двойка близначки. За предстоящия турнир по тенис трябва да се съставят 6 смесени двойки, така че никой да не е в една двойка със своя съпруг/а или неговия брат/сестра.

[Реклама]

[s.karakoleva]

Какво точно се търси в задачата? Брой на всевъзможните варианти ли? Или вероятност на някакво събитие?

[froggggg]

Извинявайте за пропуска. Търси се колко такива смесени двойки могат да се образуват.

[s.karakoleva]

Нека семействата да са облечени с различни цветове екипи, например бял, жълт и червен. При формиране на една двойка трябва двамата играчи да са с различен цвят и пол. Избираме първо един от трите цвята по 3 начина, при определен вече цвят, се избира пола на играча-тук има 2 възможности- жена или мъж. След като вече е избран определен играч с фиксиран цвят и пол, за него има 4 човека от другите два цвята от противоположния пол, така че възможностите за втория играч са [tex]C_4^1[/tex].

Окончателно всички възможности за 6-те смесени двойки са [tex]3\cdot 2\cdot C_4^1=24.[/tex]

А иначе на въпроса "Колко такива смесени двойки могат да се образуват?", зададен като "брой", логичният отговор е 6.

[froggggg]

Мойе би е най-добре да дам оригиналния текст на задачата:

Three sets of twin girls are each married to twin boys in such a way that each girl’s twin sister is married to her husband’s twin brother. If all twelve of them enter a mixed doubles tennis tournament, in how many ways can they be arranged as six mixed pairs (i.e. in each pair there is one girl and one boy) so that no one is paired with their spouse or their twin spouse?

[s.karakoleva]

[froggggg]

За съжаление отговорът,който дават за задачата е друг - 80.

[s.karakoleva]

Да, повече са. Ще помисля как да се направи по-строго.

[s.karakoleva]

Ето как разсъждавам: Тръгвам от всички възможни комбинации на 12 човека в групи по двама - те са [tex]C_{12}^2=66[/tex]. Неблагоприятните комбинации са:
-две сестри или двама братя-6;
-семейства-6;
-мъж с жената на брат си или жена с мъжа на сестра си-6;
-двойките от еднакъв пол-24(това го бях изпуснала и го добавих по-късно)
От 66 като извадим 42 остават благоприятни за нашето събитие - 24.

П.П. Явно отговорът не е верен.

[martosss]

Отговорът 80 е верен!!! След малко ще напиша решение.

[martosss]

Нека близнаците са номерирани така:
[tex]\left.1\; 11\\2\; 22\\3\; 33\right} =>\cyr{zheni}\\\left.4\; 44\\5\; 55\\6\; 66\right}\Right\cyr{m\cdprimezhe}[/tex]
По условие брачните двойки са близнаци-близначки, така че нека са женени 1-4, 11-44, 2-5, 22-55, 3-6, 3-66. Ще ги подредим така:
|1 11| 2 22| 3 33|
|4 44| 5 55| 6 66|

Сега 1 не трябва да попада с 4 или 44 в един тим, 11 също; 2 и 22 не трябва да попадат с 5 или 55, както и 3 и 33 не трябва да са в един отбор с 6 или 66.
Това означава, че отборите не трябва да са съставени от различни "сектори".
Нека разгледаме няколко случая:

1) 1 и 11 се комбинират с 5 и 55. Тогава имаме 2 варианта - (1,5),(11,55), или (1,55), (11,5)
Тогава за 3 и 33 остават 4 и 44, понеже 5 и 55 са заети, а пък с 6 и 66 не могат да правят отбор - 2 варианта(3,4),(33,44), или (3,44),(33,4).
Последно за 2 и 22 остават 6 и 66 - отново 2 варианта за разпределение -(2,6),(22,66), или (2,66),(22,6).
Като умножим 2*2*2 получаваме общо 8 разпределения за този случай.

2) 1 и 11 се комбинират с 6 и 66. По абсолютно аналогичен начин получаваме отново 8 разпределения.

3) 1 и 11 се комбинират с по 1 от различни "сектори", тоест 1 се комбинира с 5 или 55, а пък 11 - с 6 или с 66 - това са 4 варианта. За улеснение нека имаме (1,5) и (11,6).
Сега за 2 и 22 остава свободно една от клетките 6 или 66(другата е заета от 11) - имаме 2 варианта - или свободното (в случая 66) да се комбинира с 2, или с 22. Нека имаме (66,2).
Сега останалото свободно от 2 и 22 ( в случая 22) трябва да се комбинира или с 4, или с 44 - още 2 варианта. Нека имаме примерно (22,4).
И последно 3 и 33 трябва да се комбинират с оставащите 2 клетки - 4 или 44( в случая 44), и 5 или 55(в случая 55) - пак 2 варианта.
Окончателно получаваме 4*2*2*2=32 разпределения.

4) Абсолютно аналогично на 3), само че 1 се комбинира с 6 или 66, а пък 11 се комбинира с 5 или 55. Нататък е аналогично и отново се получават 32 разпределения.

Това са всички случаи, остана ни да съберем различните разпределения:
8+8+32+32=16+64=80.

Ако има нещо неясно(особено покрай 3) и 4) ) питайте. Сега допълних и едно примерно разпределение, ще е добре да си го напишете на листче и тези, които се комбинират, да ги отписвате по някакъв начин.

[froggggg]

Всичко е ясно.
Браво martosss! Благодаря за решението.

[martosss]

Моля, пак заповядай! Не разбрах само защо s.karakoleva така се обърка.

Може ли да попитам откъде я взе тази задача?

[froggggg]

Задачата не знам откъде е взета. Дадоха ни ги за подготовка за Австралийското Кенгуру.

[martosss]

Оле... добра задача... за 1-2 минути много трудно ще я решиш

[Vladi_mnt]

Освен ако не си късметлия.......