Задачите са от примерна тема за ВВМУ

[Wolfyy]

1. Даден е правоъгълен триъгълник ABC ([tex]\angle ACB=90^\circ [/tex]). Втриъгълника е взета точка O такава, че триъгълниците OAB, OBC и OAC са равнолицеви. Намерете дължината на OC, ако е известно, че OA²+OB²=a² (a>0)

2. В равностранен триъгълник ABC точка E лежи на отсечката AB, а точка D на AC и
[tex]\frac{AE}{EB} =\frac{CD}{DA}=\frac{2}{1}[/tex] . Ако CE пресича BD в точка O, докажете че триъгълник AOC е правоъгълен

3. Дадена е правилна триъгълна пирамида ABCD с основен ръб a и околен ръб b. Точка M е среда на AB , а точка N на CD. Да се намери ъгъла между MD и BN

Задачите са от примерна тема за ВВМУ

[Реклама]

[s.karakoleva]

1 зад. Точка О е медицентърът на триъгълника ABC. (Това знаеш ли как се доказва?)

Да начертаем медианите на триъгълника и да ги означим с AN, BP, CM. Да означим също петите на перпендикулярите от О към страните AC, CB, BA с D, E, F. Нека също [tex]OE=DC=y,[/tex] [tex]OD=EC=z[/tex]. Начертай го!

Очевидно е, че OECD е правоъгълник. [tex]OC^2=y^2+z^2[/tex]
[tex]\triangle OBE\sim \triangle PBC\Rightarrow BO:BP=BE:BC=2:3\Rightarrow CE=z, BE=2z[/tex]

Аналогично
[tex]\triangle AOD\sim \triangle ANC\Rightarrow CD=y, AD=2y[/tex]

Питагорова теорема:
[tex]\triangle AOD\Rightarrow z^2=AO^2-4y^2[/tex]
[tex]\triangle BOE\Rightarrow y^2=BO^2-4z^2[/tex]

Събираме почленно горните и използваме даденото:
[tex]y^2+z^2=AO^2+BO^2-4(y^2+z^2)\Rightarrow 5(y^2+z^2)=a^2\Leftrightarrow OC^2=\frac{a^2}{5}\Leftrightarrow OC=\frac{a\sqrt{5}}{5}[/tex]

[martosss]

За 2-ра задача си означи ВЕ=АД=а, АЕ=СД=2а, ВС=3а.
Сега докажи, че [tex]\Del ABD\equiv \Del BEC[/tex], откъдето намираш < АДВ=< BEC, откъдето АЕОД е вписан в окръжност.
От косинусовата теорема намираш СЕ=ДВ=а√7,DE=a√3.
Освен това доказваш, че ДОС~ЕАС и ЕВО~ДВА.

Сега от подобията и намерените отсечки намираш СО=6a√7/7, OE=a√7/7, DO=4a√7/7

Сега понеже АЕОД е вписан в окръжност, то може да приложим теоремата на Птолемей за него, с което имаме
AO*ED=AE*DO+AD*OE
Оттук намираме AO=9a/√(21).

Остана ни само една обратна питагорова теорема за триъгълник АОС

[Wolfyy]

Много ви благодаря за подробните решения.