Неравенство за доказване с неравенство в условие

[Saposto_MM]

Нека [tex]a,b,c>0 [/tex] и [tex]a+b+c\ge abc[/tex]. Да се докаже, че [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\ge \sqrt{3}abc[/tex].

Намерете колкото се може повече решения. На нас с Николай.Каракехайов са ни известни 4 (не всичките наши).

[Реклама]

[martosss]

От даденото чрез почленно делене на [tex]abc>0[/tex] следва, че [tex]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge \left( 1\right)[/tex]
Имаме, че [tex]\left. (a-b)^2\ge 0\Right \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge \frac{2}{ab}\\ (b-c)^2\ge 0\Right \frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge \frac{2}{bc}\\ (a-c)^2\ge 0\Right \frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge \frac{2}{ac}\right}\Right^+ 2\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge 2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\ge^{\left(1\right)} 2\Right\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge 1\Right \fbox{(ab)^2+(bc)^2+(ac)^2\ge (abc)^2\left(2\right)}[/tex]
Сега [tex]\left.\left(a^2-b^2\right)^2\ge 0\\\left(b^2-c^2\right)^2\ge 0\\\left(a^2-c^2\right)^2\ge 0\right}\Right^+a^4+b^4+c^4\ge (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2\Right\\ \left(a^2+b^2+c^2\right)^2=a^4+b^4+c^4+2\left((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2\right)\ge 3\left((ab)^2+(bc)^2+(ac)^2\left)\Right\ge^{(2)} 3(abc)^2[/tex]

От последното получихме
[tex](a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(abc)^2[/tex], което след като коренуваме получаваме исканото.

Равенство при [tex]a=b=c=\sqrt 3[/tex]

Това решение ми отне около час(ако не и повече) и е достатъчно късо, така че нямам намерение да търся други!