задача от 97-ми пролетен турнир

[kuk_smile]

здравейте,
намерих една интересна задачка:

Да се намерят стойностите на реалния параметър m, за които уравнението

(x*2 - 2mx - 4(m*2 + 1))(x*2 - 4x - 2m(m*2 + 1)) = 0

има точно три различни реални решения.

[Реклама]

[kuk_smile]

тя ,че е интересна, интересна е. лошото е, че аз не мога да се справя с нея.

[uktc]

Нека f(x)=(x^2 - 2mx - 4(m^2 + 1))(x^2 - 4x - 2m(m^2 + 1)).
Отговори ми на следния въпрос:
За кои стойности на m, уравненията f(x)=0 и f '(x)=0 ще имат точно 1 общ реален корен?
Ако ми дадеш отговор, може и да реша задачата

П.П. Ще пробвам и с дискриминанти да видим дали ще стане нещо

[kuk_smile]

не мога да ти отговоря на този привидно лесен въпрос.
с дискриминанти пробвах, не става.

[uktc]

Ще стане, ще стане, сега го мисля

[kuk_smile]

може би ако има някаква формула, с която да се намери общия корен между двете уравнения.(така стават три случая - по един за всяко уравнения ако е квадрат и този с формулата)

[kuk_smile]

сещам се за една формула:
x² + ax + bc = 0 x₀² + ax₀ + bc = 0
x² + bx + ac = 0 x₀² + bx₀ + ac = 0
(a - b)(x₀ - c) = 0

само, че правех две неща едно времено и се оплетох, и не мога да се оправя.

[uktc]

Остави ги тия формули, опитай с повечко мислене

[kuk_smile]

еее сега. вече 3 часа се мъча.почнах да се чудя какво да правя.

[Infernum]

Ще ви кажа, че колкото и да си блъскате главите, решение няма да намерите. Причината затова е, че е допусната грешка в условието.
Ако разгледате внимателно първия множител, лесно ще установите, че дискриминантата му е положителна за всяко m, което означава, че той има два комплексно спрегнати корена. Оттук лесно се установява, че изходното уравнение не може да има повече от 2 реални корена.

[Infernum]

Ако пък условието е правилно зададено, то отговора е m E Ф.

[Infernum]

[kuk_smile]

условието е вярно.
според отговора на задачата m=3

[M_Velinova]

Само с дискриминантите се решава.
Означаваш с D1 първата съкратена дискриминанта, а с D2- втората.
D1=m²+4*(m²+1)>0 за всяко m. Следователно първият множител дава 2 корена.
D2=4+2*m*(m²+1)=0
m³+m+2=0
(m+1)*(m²-m+1)=0
m=-1

[Methuselah]

Според мен трябва да се разгледат случаите когато и двата множителя дават по два корена, но един корен от първия съвпада с един от втория

[M_Velinova]

Да прав си. Реагирах прибързано. Това е само един от случаите. Трябва да се разгледат и останалите.

[Infernum]

Решение:
[x²-2mx-4(m²+1)][x²-4x-2m(m²+1)] = 0
Тъй като дискриминантата на първия множител е винаги положителна, то този множител винаги има два реални корена. Зада има уравнението [x²-2mx-4(m²+1)][x²-4x-2m(m²+1)] = 0 изобщо 3 реални корена, трябва дискриминантата на втория множител да бъде неотрицателна, тъй като ако това не е така, уравнението може да има най-много 2 реални корена защото другите 2 ще са комплексно спрегнати. Това обстоятелство води неравенството m >= -1.
При m=-1, втория множител има двукратен корен, обаче изходното уравнение добива вида
(x-2)³(x+4)=0, което нарушава изискването да са налице 3 реални корена. Тогава m > -1. Това означава, че втория множител трябва да има 2 реални корена, единия от които да съвпада с един от корените на първия множител. Последното обаче води до погрешната заблуда да се приравняват намерените корени на двата множителя поотделно, което води до голям брой тежки системи от ирационални уравнения, които се свеждат до лоши нерешими уравнения от високи степени. Затова, целесъобразно е да се подберат такива стойности на параметъра m, за които едновременно и първия и втория множител да се анулират, т.е. да бъде изпълнено:
x²-2mx-4(m²+1) = x²-4x-2m(m²+1) = 0
От първото равенство се намира
x = m² + 1, а от второто
(m² + 1)² -4(m² + 1) - 2m(m²+1) = 0
Последното квадратно уравнение относно m дава корени m=-1 и m=3 от които само m=3 е решение на задачата.

[kuk_smile]

благодаря на всички, които се включиха.

[Bully]

[Infernum]