домашна за лятната ваканция

[petranka]

учителката на сина ми е дала около 350 задачи за домашна за през лятната ваканция опитвам се да помагам, но срещам трудности с логическите задачи или по-скоро изпитвам известна несигурност, ако има ентусиасти които искат да помогнат задачите са следните :
1) В 4 класа учат общо 108 ученика. Вярно ли е, че има 3 ученика, които имат рожден ден през една и съща седмица?
2) В 4^а учат 30 ученика. На диктовка Мила допуснала 12 грешки, а останалите имали по малко грешки имало и ученици с безгрешна диктовка (т.е имали 0 грешки). Докажете че поне 3-ма са допуснали еднакъв брой грешки.

НА СЛЕДНИТЕ НЯКОЛКО ИМАМ ИДЕЯ ИСКАМ САМО ДА СЕ ДОПИТАМ ЗА ОТГОВОРИТЕ КОИТО ПОЛУЧАВАМ:
1) В една кутия има 70 топки. 20 червени, 20 сини, 20 жълти, а останалите черни и бели. Какъв най-малък брой топки трябва да вземем без да виждаме какъв цвят са, че сред тях да има поне 10 от един и същи цвят? ОТГ. 40
2) В един шкаф има зелени, червени, сини и жълти топки. Колко най-малко на брой трябва да вземем, за да има не по-малко от 10 от един цвят? ОТГ. 40
3) В шкафчето си Пепи има 5 чифта бели и 5 чифта черни обувки. Колко най-малко обувки трябва да извади Пепи, така че сред тях да има чифт обувки лява и дясна от един и същи цвят (тук пренебрегваме Пепи да обуе обувки от различен цвят). ОТГ. 10 (или 11 не съм сигурна колко точно?)
4) Имаме 5 куфара и 5 ключа, но не е ясно кой ключ за кой куфар е. Колко проби трябва да се направят за да се намери ключа за всеки куфар? ОТГ. 120
5) В една кутия има 10 черни, 8 бели и 4 жълти молива. Колко най-малко молива трябва да вземем, че сред тях да има:
а) поне 4 молива от един и същи цвят ОТГ. 22
б) поне 1 молив от един цвят ОТГ. 19
в) поне 6 бели молива ОТГ. 20

[Реклама]

[Пафнутий]

Решават се с принципа на Дирихле първите. Вижте го в нета - има го достатъчно добре обяснен. За задачите от долния тип пак се използва този принцип, но по-хитро. Гледа се максимално лошия случай, а именно когато сме изтеглили по [tex](n-1)[/tex] от всеки цвят, а ни трябват по [tex]n[/tex]. Ако в този момент сме изтеглили [tex]m[/tex] топки, то следващата непременно ще бъде [tex]n[/tex]-та в някой цвят.

[petranka]

може ли поне да разбера отговорите до които съм достигнала верни ли са?

[Пафнутий]

Предположих, че ще можеш и сама да се оправиш. Относно отговорите -
1)-38
2)-37
3)-11
4)-5.4.3.2.1=120
5)
а)10
б)19
в)20

Отговорите, обаче, няма да ти помогнат - виж това, което съм написал. С него се решават всичките задачи по-горе. Ето ти и формула, която ще ти помогне: Ако имаш предмети,оцветени в [tex]n[/tex] цвята, то за да си сигурен, че ще извадиш [tex]m[/tex] едноцветни предмета трябва да извадиш най-малко [tex]n(m-1)+1[/tex] на брой предмети.

[petranka]

единственото което не разбрах е разликата между 1 и 2 задача за мен те са едни и същи и не разбирам защо на едната отг е 38 а на другата 37 според мен и на двете е 37 къде греша точно? може ли и малко по подробно обяснение за 2 задача от доказателствените

[martosss]

на 1-ва задача в последните 10 топки има черни и бели, тоест може да има и от двата цвята, примерно 3 бели и 7 черни - тоест длъжни сме да вземем всички 10. Тогава ако вземем и от останалите 3 цвята по 9 топки, това ни дава 10+3*9=37, сега която и топка да вземем от останалите, то ще се образува 10-тка от първите 3 цвята, с което получаваме 38 топки.

На 2-ра задача ако изтеглим по 9 топки от всеки цвят получаваме 36 топки, сега 37-мата топка ще се допълни с някой от цветовете и ще образува 10-тка, тоест 37 е търсеният отговор.

На 1-ва особеното е, че имаме черни И бели топки, което предполага, че почти сигурно имаме и от двата цвята(освен ако не сме допуснали, че 0 е естествено число, но по принцип това се изключва, тоест когато е казано "...И...", то имаме и от двете неща поне по 1). Така че дори да вземем и 10-те топки, пак не може да сме сигурни, че имаме 10 едноцветни(даже сме сигурни, че нямаме, защото ще имаме поне 1 черна, 1 бяла и още 8 други).

Надявам се всичко да е ясно.

[petranka]

дори повече от ясно е само може ли и втората задача доказателствената за грешките на диктовката всичко останало разбрах

[martosss]

еми там е абсолютно аналогично - имаме 30 човека, без нашата хубава Мила стават 29. Те може да имат от 0 до 11 грешки включително(това прави общо 12 варианта). Тогава ако всеки брой грешки е направен от 2 човека(тоест от 24 човека първите 2 са имали 0, вторите двама са имали 1 и т. н. до 24), то ако вземем някой от останалите 5, той ще попадне в някоя от "групите" с 0, 1, 2 ... 10, 11 грешки, с което ще се образува група от 3-ма, допуснали еднакъв брой грешки.