Регистрирайте сеРегистрирайте се

ЗМС 2007 10.2


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Mon Jul 27, 2009 8:00 am    Заглавие: ЗМС 2007 10.2

Даден е остроъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex], в който са спуснати височините [tex]BB_{1}[/tex] и [tex]CC_{1}[/tex] към страните [tex]AC[/tex] и [tex]AB[/tex] [tex](B_{1}\in AC,C_{1}\in AB)[/tex]. Нека [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно средите на [tex]BB_{1}[/tex] и [tex]CC_{1}[/tex], [tex]P=AM\cap CC_{1},Q=AN\cap BB_{1}[/tex]. Да се докаже, че точките [tex]M,N,P[/tex] и [tex]Q[/tex] лежат на една окръжност.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Mon Jul 27, 2009 3:15 pm    Заглавие:

Ще разгледаме случая, когато [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са от двете страни на ортоцентъра. Другият е напълно аналогичен.Достатъчно е да покажем, че [tex]AM.AP=AN.AQ\Leftrightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AQ}{AP}[/tex] Ясно е, че [tex]B,C_{1},B_{1},C[/tex] лежат на 1 окръжност [tex](*)[/tex], т.е [tex]\angle ACC_{1}=\angle ABB_{1}[/tex] и оттук [tex]\Delta ABB_{1}\approx \Delta ACC_{1} \Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AB_{1}}{AC_{1}}(**)[/tex]. Освен това от подобието имаме и [tex]\angle B_{1}AN=\angle C_{1}AM[/tex] , което пък означава [tex]\Delta B_{1}AQ\approx \Delta C_{1}AP\Rightarrow \frac{AQ}{AP}=\frac{AB_{1}}{AC_{1}}[/tex] и от [tex](**)[/tex] достигаме до [tex]\frac{AM}{AN}=\frac{AQ}{AP},[/tex] което доказва твърдението в условието.
Забележка: Твърдението е вярно, ако вместо [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex] изберем произволни вътрешни точки с условието: [tex]\angle BC_{1}C=\angle CB_{1}B[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Tue Jul 28, 2009 5:53 pm    Заглавие:

Ако имаш и други геометрии от ЗМС, по възможност за 10 клас - пускай Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.