ЗМС 2007 10.2

[inimitably]

Даден е остроъгълен триъгълник [tex]ABC[/tex], в който са спуснати височините [tex]BB_{1}[/tex] и [tex]CC_{1}[/tex] към страните [tex]AC[/tex] и [tex]AB[/tex] [tex](B_{1}\in AC,C_{1}\in AB)[/tex]. Нека [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са съответно средите на [tex]BB_{1}[/tex] и [tex]CC_{1}[/tex], [tex]P=AM\cap CC_{1},Q=AN\cap BB_{1}[/tex]. Да се докаже, че точките [tex]M,N,P[/tex] и [tex]Q[/tex] лежат на една окръжност.

[Реклама]

[Пафнутий]

Ще разгледаме случая, когато [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са от двете страни на ортоцентъра. Другият е напълно аналогичен.Достатъчно е да покажем, че [tex]AM.AP=AN.AQ\Leftrightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AQ}{AP}[/tex] Ясно е, че [tex]B,C_{1},B_{1},C[/tex] лежат на 1 окръжност [tex](*)[/tex], т.е [tex]\angle ACC_{1}=\angle ABB_{1}[/tex] и оттук [tex]\Delta ABB_{1}\approx \Delta ACC_{1} \Rightarrow \frac{AM}{AN}=\frac{AB_{1}}{AC_{1}}(**)[/tex]. Освен това от подобието имаме и [tex]\angle B_{1}AN=\angle C_{1}AM[/tex] , което пък означава [tex]\Delta B_{1}AQ\approx \Delta C_{1}AP\Rightarrow \frac{AQ}{AP}=\frac{AB_{1}}{AC_{1}}[/tex] и от [tex](**)[/tex] достигаме до [tex]\frac{AM}{AN}=\frac{AQ}{AP},[/tex] което доказва твърдението в условието.
Забележка: Твърдението е вярно, ако вместо [tex]B_{1}[/tex] и [tex]C_{1}[/tex] изберем произволни вътрешни точки с условието: [tex]\angle BC_{1}C=\angle CB_{1}B[/tex].

[Пафнутий]

Ако имаш и други геометрии от ЗМС, по възможност за 10 клас - пускай