Првоъгълен триъгълник

[ганка симеонова]

Даден е правоъгълен [tex]\Delta ABC [/tex] с катети АС и ВС. Точка М е среда на ВС. Окръжност к, минаваща през точките А и М, се допира до описаната около [tex]\Delta ABC [/tex] и пресича правара ВС за втори път в точка N. Да се докаже, че правата AN минава през средата на височината CH на [tex]\Delta ABC [/tex] .

[Реклама]

[inimitably]

Интересна задачка.

Сега ще докажем , че [tex]\angle NAC=\angle MAB[/tex] или с други думи , че [tex]AN[/tex] и [tex]AM[/tex] са симетрични относно ъгълополовящата на [tex]\angle BAC[/tex].

Ясно е , че [tex]\angle AMP=\angle ANP=90^\circ [/tex] , тогава от вписаните четириъгълници [tex]MWHP,QNHP[/tex]

[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]AH.AP=AW.AM=AQ.AN[/tex] , т.е. [tex]N,Q,M,W[/tex] лежат на една окръжност.

Тогава вече лесно може да установим , че [tex]\angle BAM=\angle CAN[/tex]

Понеже в правоъгълния триъгълник [tex]CH[/tex] е антипаралелна на [tex]BC[/tex] , то от едно добре познато свойство на симедианата , както и на всички изогонални спрегнати чевиани , следва , че [tex]Q[/tex] трябва да бъде среда на [tex]CH[/tex].

[ганка симеонова]

inimitably, наистина си "inimitably"
Страхотно решение. Но, не е ли добре да поясниш, какво е симедиана?
Всъщност и аз имам грях, защото преди време бях пуснала във форума задача със заглавие "Симедиана", Мартос я реши и аз после не казах, какво е симедиана.