Регистрирайте сеРегистрирайте се

Варненски свободен


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Tue Jul 21, 2009 9:37 pm    Заглавие: Варненски свободен

Ето една задача от приемния изпит в слънчева Варна:
Нека [tex]AM,BN,CP[/tex] са медиани в триъгълник [tex]ABC[/tex]. Нека [tex]AM X k = R[/tex],[tex]BN X k = Q[/tex], [tex]CP X k = S[/tex], където К е описаната около триъгълника АBC окръжност. Да се докаже, че [tex]\frac{AM}{MR}+\frac{BN}{NQ}+\frac{CP}{PS} \ge 9[/tex]. Кога се достига равенство?
Върнете се в началото
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jul 21, 2009 10:26 pm    Заглавие:

от свойството на секущите имаме
[tex]MR=\frac{BC^2}{4AM}\\PS=\frac{AB^2}{4CP}\\QN=\frac{AC^2}{4BN}[/tex]
Получаваме
[tex]\frac{4m_a^2}{a^2}+\frac{4m_b^2}{b^2}+\frac{4m_c^2}{c^2}\ge 9[/tex]
Сега изразяваме медианите чрез страните на триъглъника и получаваме
[tex]\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{a^2}+\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{b^2}+\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{c^2}\ge 9\\\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2+c^2}{b^2}+\frac{a^2+b^2}{c^2}\ge 6\\(\frac{b}{a})^2+(\frac{a}{b})^2+(\frac{c}{a})^2+(\frac{a}{c})^2+(\frac{c}{b})^2+(\frac{c}{b})^2\ge 6[/tex]
Прилагаме СА-СГ за първите 2, вторите 2 и последните две, при което получаваме търсеното.
Равенство при a=b=c.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Tue Jul 21, 2009 10:31 pm    Заглавие:

Toва е и моето решение. Иначе малко не си го записал крайния резултат като хората. има и едно -3 , което като отиде при 6-цата се получават нещата.
Върнете се в началото
martosss
VIP Gold


Регистриран на: 17 Mar 2007
Мнения: 3937
Местожителство: Somewhere over the rainbow
Репутация: 424.2Репутация: 424.2
гласове: 213

МнениеПуснато на: Tue Jul 21, 2009 10:36 pm    Заглавие:

Просто правя няколко неща наведнъж - прибавям 3 от двете страни, след което деля на 2. Smile Просто ме мързеше да ги пиша едни и същи неща по 100 пъти.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Tue Jul 21, 2009 10:38 pm    Заглавие:

абе, а някой няма ли да пусне някоя интересна задача? Умреме от скука у тоя форум?
Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Wed Jul 22, 2009 4:11 pm    Заглавие:

NoThanks написа:
абе, а някой няма ли да пусне някоя интересна задача? Умреме от скука у тоя форум?

Какво ти се решава? Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Вандер
Начинаещ


Регистриран на: 23 Jun 2008
Мнения: 45

Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3Репутация: 8.3
гласове: 1

МнениеПуснато на: Thu Jul 23, 2009 7:34 am    Заглавие:

NoThanks написа:
абе, а някой няма ли да пусне някоя интересна задача? Умреме от скука у тоя форум?

Хващай задачи за програмиране Very Happy
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
NoThanks
Гост






МнениеПуснато на: Thu Jul 23, 2009 3:19 pm    Заглавие:

Вандер написа:
NoThanks написа:
абе, а някой няма ли да пусне някоя интересна задача? Умреме от скука у тоя форум?

Хващай задачи за програмиране Very Happy

И такива решавам Cool
Върнете се в началото
_sssss
Фен на форума


Регистриран на: 07 Dec 2008
Мнения: 633

Репутация: 85.8Репутация: 85.8
гласове: 50

МнениеПуснато на: Thu Jul 23, 2009 7:33 pm    Заглавие:

Откъде взимаш задачи?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.