Варненски свободен

[NoThanks]

Ето една задача от приемния изпит в слънчева Варна:
Нека [tex]AM,BN,CP[/tex] са медиани в триъгълник [tex]ABC[/tex]. Нека [tex]AM X k = R[/tex],[tex]BN X k = Q[/tex], [tex]CP X k = S[/tex], където К е описаната около триъгълника АBC окръжност. Да се докаже, че [tex]\frac{AM}{MR}+\frac{BN}{NQ}+\frac{CP}{PS} \ge 9[/tex]. Кога се достига равенство?

[Реклама]

[martosss]

от свойството на секущите имаме
[tex]MR=\frac{BC^2}{4AM}\\PS=\frac{AB^2}{4CP}\\QN=\frac{AC^2}{4BN}[/tex]
Получаваме
[tex]\frac{4m_a^2}{a^2}+\frac{4m_b^2}{b^2}+\frac{4m_c^2}{c^2}\ge 9[/tex]
Сега изразяваме медианите чрез страните на триъглъника и получаваме
[tex]\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{a^2}+\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{b^2}+\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{c^2}\ge 9\\\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2+c^2}{b^2}+\frac{a^2+b^2}{c^2}\ge 6\\(\frac{b}{a})^2+(\frac{a}{b})^2+(\frac{c}{a})^2+(\frac{a}{c})^2+(\frac{c}{b})^2+(\frac{c}{b})^2\ge 6[/tex]
Прилагаме СА-СГ за първите 2, вторите 2 и последните две, при което получаваме търсеното.
Равенство при a=b=c.

[NoThanks]

Toва е и моето решение. Иначе малко не си го записал крайния резултат като хората. има и едно -3 , което като отиде при 6-цата се получават нещата.

[martosss]

Просто правя няколко неща наведнъж - прибавям 3 от двете страни, след което деля на 2. Просто ме мързеше да ги пиша едни и същи неща по 100 пъти.

[NoThanks]

абе, а някой няма ли да пусне някоя интересна задача? Умреме от скука у тоя форум?

[ганка симеонова]

[Вандер]

[NoThanks]

[_sssss]

Откъде взимаш задачи?