су-2007-3

[ajah]

(x+1)ⁿ + (1/x +1)ⁿ ≥ 2ⁿ⁺¹ ; n-естествено число ; докажете ,че за всяко x > 0 e изпълнено неравенството

[Реклама]

[martosss]

[tex](x+1)^n+(\frac{1}{x}+1)^n\ge 2^{n+1}[/tex]
Явно си искал да кажеш това.

От СА-СГ имаш [tex]x+1\ge2\sqrt x, \frac{1}{x}+1\ge \frac{2}{\sqrt x}[/tex], откъдето
[tex](x+1)^n+(\frac{1}{x}+1)^n\ge (2\sqrt x)^n+(\frac{2}{\sqrt x})^n=2^n(\sqrt x^n+\frac{1}{\sqrt x^n})\ge 2^n*2[/tex]