Регистрирайте сеРегистрирайте се

Неравенство, изпълнено за всяко реално число


 
   Форум за математика Форуми -> Неравенства
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Spider Iovkov
VIP


Регистриран на: 12 Jan 2007
Мнения: 1273

Репутация: 199.9Репутация: 199.9
гласове: 129

МнениеПуснато на: Mon Jul 20, 2009 3:44 pm    Заглавие: Неравенство, изпълнено за всяко реално число

Бихте ли обяснили тази задача?

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които всяко реално число [tex]x[/tex] е решение на неравенството [tex]ax^4+2x^2-12ax+8a^2\ge 0[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Mon Jul 20, 2009 5:31 pm    Заглавие:

Ще напиша нещо, като насока.
Явно е, че при [tex]a=0[/tex], неравенството е изпълнено, за всяко x.
Нека разделим н-то на [tex]x^4\ne 0[/tex] и да положим [tex]\frac{1}{ x} =t [/tex].
Тогава ще искаме, да видим за кои стойности на а, за всяко t ще е в сила
[tex]8a^2t^4-12at^3+2t^2+a\ge 0 [/tex]
Функцията в лявата страна на н-то вече има"хубава" производна.
[tex]f'(t)=32a^2t^3-36at^2+4t=4t(8a^2t^2-9at+1) [/tex]
Сега трябва да намерим точките, в които имаме екстремуми и да поискаме тези екстремуми да са неотрицателни.
Разбира се, трябва да се разгледат двата случая за а ( положително и отрицателно).
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Mon Jul 20, 2009 7:00 pm    Заглавие:

Тъй като има вече няколко теми за тази задача и имаше разни въпроси като "Откъде идвала идеята да се положи?" и други.Всъщност, единственото , което отличава това неравенство от друго подобно без параметър е , че трябва да съобразим , че да е изпълнено за всяко [tex]x[/tex] , то трябва [tex]a\ge 0[/tex].Натам става ясно , че [tex]f'(x)[/tex] има единствен реален корен и т.н. Препоръчвам на Spider Iovkov да напише едно съвсем стандартно решение без полагане ако нещо не му е ясно.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
ганка симеонова
SUPER VIP


Регистриран на: 10 Jan 2008
Мнения: 5985
Местожителство: софия
Репутация: 618.5Репутация: 618.5Репутация: 618.5
гласове: 298

МнениеПуснато на: Mon Jul 20, 2009 7:24 pm    Заглавие:

inimitably написа:
Тъй като има вече няколко теми за тази задача и имаше разни въпроси като "Откъде идвала идеята да се положи?" и други.Всъщност, единственото , което отличава това неравенство от друго подобно без параметър е , че трябва да съобразим , че да е изпълнено за всяко [tex]x[/tex] , то трябва [tex]a\ge 0[/tex].Натам става ясно , че [tex]f'(x)[/tex] има единствен реален корен и т.н. Препоръчвам на Spider Iovkov да напише едно съвсем стандартно решение без полагане ако нещо не му е ясно.

Извинявай, може и да не съм вече в час, но защо според теб трябва
[tex]f'(x)[/tex] да има единствен реален корен?
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
inimitably
Редовен


Регистриран на: 13 Nov 2008
Мнения: 102

Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9Репутация: 37.9
гласове: 25

МнениеПуснато на: Tue Jul 21, 2009 5:28 pm    Заглавие:

Ще напиша решение , въпреки че подобно може да откриете във всеки сборник, за да видим , че спокойно може да минем без това полагане.
Както многократно пъти стана ясно [tex]a[/tex] не може да е отрицателно, тогава пресмятаме [tex]f''(x)=4(3ax^2+1)>0[/tex],т.е. [tex]f'(x)[/tex] е растяща в цялата си дефиниционна област.Тогава съществува число [tex]\alpha [/tex] , такова че [tex]f'(\alpha )=0[/tex].Ясно е ,че условието е еквивалентно на това да докажем , че най-малката стойност на функцията е положителна , т.е. [tex]f(\alpha)\ge 0[/tex].От [tex]f'(\alpha )=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a\alpha ^4=3a\alpha -\alpha ^2 (*)[/tex].Като заместим с [tex](*)[/tex] в [tex]f(\alpha )\ge 0[/tex] получаваме , че [tex]\alpha ^2-9a\alpha +8a^2\ge 0[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\alpha \in (-\infty ,a]\cup [8a,+\infty )[/tex], т.е. трябва да докажем , че [tex]\alpha \le a[/tex] или [tex]\alpha\ge 8a[/tex].Пресмятаме и забелязваме , че [tex]f'(8a)>0[/tex] или [tex]f'(8a)>f'(\alpha) =0[/tex] , т.е. [tex]8a>\alpha [/tex].Тогава остава да е изпълнено [tex]\alpha \le a[/tex] или [tex]4a(a^3-2)\ge 0 | : a>0[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a\ge \sqrt[3]{2}[/tex] и [tex]a=0[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Неравенства Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.