Неравенство, изпълнено за всяко реално число

[Spider Iovkov]

Бихте ли обяснили тази задача?

Да се намерят стойностите на реалния параметър [tex]a[/tex], за които всяко реално число [tex]x[/tex] е решение на неравенството [tex]ax^4+2x^2-12ax+8a^2\ge 0[/tex].

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ще напиша нещо, като насока.
Явно е, че при [tex]a=0[/tex], неравенството е изпълнено, за всяко x.
Нека разделим н-то на [tex]x^4\ne 0[/tex] и да положим [tex]\frac{1}{ x} =t [/tex].
Тогава ще искаме, да видим за кои стойности на а, за всяко t ще е в сила
[tex]8a^2t^4-12at^3+2t^2+a\ge 0 [/tex]
Функцията в лявата страна на н-то вече има"хубава" производна.
[tex]f'(t)=32a^2t^3-36at^2+4t=4t(8a^2t^2-9at+1) [/tex]
Сега трябва да намерим точките, в които имаме екстремуми и да поискаме тези екстремуми да са неотрицателни.
Разбира се, трябва да се разгледат двата случая за а ( положително и отрицателно).

[inimitably]

Тъй като има вече няколко теми за тази задача и имаше разни въпроси като "Откъде идвала идеята да се положи?" и други.Всъщност, единственото , което отличава това неравенство от друго подобно без параметър е , че трябва да съобразим , че да е изпълнено за всяко [tex]x[/tex] , то трябва [tex]a\ge 0[/tex].Натам става ясно , че [tex]f'(x)[/tex] има единствен реален корен и т.н. Препоръчвам на Spider Iovkov да напише едно съвсем стандартно решение без полагане ако нещо не му е ясно.

[ганка симеонова]

[inimitably]

Ще напиша решение , въпреки че подобно може да откриете във всеки сборник, за да видим , че спокойно може да минем без това полагане.
Както многократно пъти стана ясно [tex]a[/tex] не може да е отрицателно, тогава пресмятаме [tex]f''(x)=4(3ax^2+1)>0[/tex],т.е. [tex]f'(x)[/tex] е растяща в цялата си дефиниционна област.Тогава съществува число [tex]\alpha [/tex] , такова че [tex]f'(\alpha )=0[/tex].Ясно е ,че условието е еквивалентно на това да докажем , че най-малката стойност на функцията е положителна , т.е. [tex]f(\alpha)\ge 0[/tex].От [tex]f'(\alpha )=0[/tex] [tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a\alpha ^4=3a\alpha -\alpha ^2 (*)[/tex].Като заместим с [tex](*)[/tex] в [tex]f(\alpha )\ge 0[/tex] получаваме , че [tex]\alpha ^2-9a\alpha +8a^2\ge 0[/tex] [tex]\Leftrightarrow[/tex] [tex]\alpha \in (-\infty ,a]\cup [8a,+\infty )[/tex], т.е. трябва да докажем , че [tex]\alpha \le a[/tex] или [tex]\alpha\ge 8a[/tex].Пресмятаме и забелязваме , че [tex]f'(8a)>0[/tex] или [tex]f'(8a)>f'(\alpha) =0[/tex] , т.е. [tex]8a>\alpha [/tex].Тогава остава да е изпълнено [tex]\alpha \le a[/tex] или [tex]4a(a^3-2)\ge 0 | : a>0[/tex]
[tex]\Rightarrow[/tex] [tex]a\ge \sqrt[3]{2}[/tex] и [tex]a=0[/tex]