Регистрирайте сеРегистрирайте се

Две неравенства


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Mon Jul 20, 2009 2:41 pm    Заглавие: Две неравенства

Ако [tex]a,b,c>0[/tex] и [tex]ab+bc+ca=1[/tex], то докажете, че [tex]\sqrt[3]{\frac{1}{a}+6b}+\sqrt[3]{\frac{1}{b}+6c}+\sqrt[3]{\frac{1}{c}+6a}\le\frac{1}{abc}[/tex].
Съкратен списък, МОМ 2004
Ако [tex]x,y,z>0[/tex] и [tex]xyz=1[/tex], то докажете, че [tex]\frac{x^3}{\left(1+y\right)\left(1+z\right)}+\frac{y^3}{\left(1+z\right)\left(1+x\right)}+\frac{z^3}{\left(1+x\right)\left(1+y\right)}\ge \frac{3}{4}[/tex].
Съкратен списък, МОМ 1998


Последната промяна е направена от Saposto_MM на Mon Jul 20, 2009 2:53 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Jul 30, 2009 12:39 pm    Заглавие:

Първата:

От СА-СГ:

[tex]\sum_{cyc}^{ } \sqrt[3]{1.1.\frac{6ab+1}{3a\sqrt{3}}} \le \sum_{cyc}^{ } \frac{1+1+\frac{6ab+1}{3a\sqrt{3}}}{3} [/tex]

Значи ще е достатъчно да докажем, че

[tex]\sum_{cyc}^{ } \frac{1+1+\frac{6ab+1}{3a\sqrt{3}}}{3} \le \frac{1}{3abc\sqrt{3}}, [/tex]

което е еквивалентно с:

[tex]9\sqrt{3}abc + 3abc(a+b+c) \le 4[/tex]

В добре известното [tex](x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)[/tex] полагаме [tex]x = ab, y = bc, z = ca.[/tex] Получаваме [tex]1 \ge 3abc(a+b+c)[/tex]. От СА-СГ: [tex]1 = ab + bc + ca \ge 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex], откъдето лесно следва, че [tex]9\sqrt{3}abc \le 3[/tex].


Втората:

Eквивалентно с [tex]4(x^4 + y^4 + z^4) + x + y + z \ge 3(xy + yz + zx) + 6[/tex].

Лесно се доказва, че ако [tex]mnp = 1[/tex], то [tex]m^2 + n^2 + p^2 \ge m + n + p[/tex](например защото [tex](2, 0, 0)[/tex] мажорира [tex](\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})[/tex]).

Тогава имаме [tex]3(x^4+ y^4 + z^4) \ge (x^2 + y^2 + z^2)^2 \ge (x+y+z)^2 \ge 3(xy+yz+zx)[/tex].

Накрая, от СА-СГ: [tex]x^4 + y^4 + z^4 + x + y + z \ge 6(xyz)^{\frac{5}{6}} = 6[/tex] и сме готови.


Последната промяна е направена от Pinetop Smith на Thu Jul 30, 2009 12:56 pm; мнението е било променяно общо 1 път
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Jul 30, 2009 12:55 pm    Заглавие:

Предизвикателство: докажете 2-ра задача, ако вместо xyz = 1 имаме x +y + z ≥ 3.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Пафнутий
VIP


Регистриран на: 04 Mar 2008
Мнения: 1199

Репутация: 137.7
гласове: 54

МнениеПуснато на: Thu Jul 30, 2009 3:39 pm    Заглавие:

Николай.Каракехайов написа:

Лесно се доказва, че ако [tex]mnp = 1[/tex], то [tex]m^2 + n^2 + p^2 \ge m + n + p[/tex](например защото [tex](2, 0, 0)[/tex] мажорира [tex](\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3})[/tex]).
Само лека поправка, че [tex]m,n,p>0[/tex]. Все пак ми е трудно да не напиша и обобщението:
Ако [tex]\prod_{i=1}^s a_{i}=1[/tex], то [tex]\sum_{i=1}^s a_{i}^n\ge \sum_{i=1}^s a_{i}^m[/tex] за [tex]a_{1},\ldots,a_{s}>0[/tex] и [tex]\forall n\ge m[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Pinetop Smith
Фен на форума


Регистриран на: 12 May 2007
Мнения: 961
Местожителство: Хасково
Репутация: 153.6Репутация: 153.6
гласове: 87

МнениеПуснато на: Thu Jul 30, 2009 4:24 pm    Заглавие:

Даже вече е било пускано във форума(обобщението): http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=11104
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.