Муха

s.karakoleva · Пуснато на: Mon Jul 20, 2009 8:19 am Заглавие: Муха

На външната повърхнина на стъклен цилиндричен съд, на разстояние 5 единици от горния ръб на съда, е кацнала муха. На вътрешната повърхнина на съда, в диаметрално противоположна точка на мухата, има капка мед. Височината на съда е 20 единици, а диаметърът на основата е 10 единици.

Да се намери дължината на най-късия път, който трябва да измине мухата, за да достигне капката.

Реклама

Пафнутий · Пуснато на: Mon Jul 20, 2009 12:45 pm Заглавие:

[tex]5+5\sqrt{5}=5(1+\sqrt{5})[/tex]?

s.karakoleva · Пуснато на: Mon Jul 20, 2009 7:00 pm Заглавие:

Извинявам се, пропуснала съм важна част от условието: Мухата трябва да се движи само по цилиндричния съд, без да лети.

ZERGO · Пуснато на: Mon Jul 20, 2009 9:51 pm Заглавие:

По принцип всяка логическа задача "издиша" по един или друг начин, поради непълното или неточно условие. И тази задача е повече изчислителна отколкото логическа.

martosss · Пуснато на: Mon Jul 20, 2009 10:36 pm Заглавие:

s.karakoleva · Пуснато на: Tue Jul 21, 2009 7:18 am Заглавие:

martosss · Пуснато на: Tue Jul 21, 2009 8:16 am Заглавие:

Добре, на чертежа т. А е мухата, т. В е медът. Представяме си, че цилиндърът е разрязан на някое място, при което може да го "разгънем" и да образуваме правоъгълник(АВСF) с размери 5х10 единици. Нека също така си построим точка D, която да е симетрична на В относно С, тоест да "пренесем" медът симетрично на точка С. Така все едно сме "изправили" цилиндъра, разпънали сме го като лист хартия, докато получим разгъвката отдясно. На нея АВ е полуокръжността, като медът В е във окръжността, а мухата А е извън нея. За да стигна мухата до меда, тя трябва да мине през дъгата CF, която отдясно е отсечката CF. Сега всяка точка от CF е на равни разстояние от В и от D, тоест щом стигне ръба на цилиндъра в някоя точка К, разстоянието от мухата до В е равно на разстоянието от мухата до D(понеже триъгълник BKD е равнобедрен - СК е и медиана и височина). Тогава АД =АК+КВ. Сега търсим [tex](AK+BK)_{MIN}=(AK+KD)_{MIN}=AD[/tex]. Намерихме, че най-късото разстояние е отсечката АД, остава само да намерим нейната дължина. На помощ ни идват дадените стойности - диаметърът на окръжността е 10, а пък АF=BC=CD=5. Тогава полуобиколката на окръжността е АВ и е равен на [tex](2\pi *5)/2=5\pi[/tex], откъдето чрез Питагоровата теорема за триъгълник ВАД намираме AD=[tex]\sqrt{(5\pi )^2+10^2}=\sqrt{25\pi^2+25*4}=5\sqrt{\pi^2+4}[/tex].

s.karakoleva · Пуснато на: Tue Jul 21, 2009 9:05 am Заглавие:

martosss · Пуснато на: Tue Jul 21, 2009 9:22 am Заглавие:

оф, да, когато го чертах поправих няколко пъти чертежа... трябва да е 10x 5п. Както и да е, въпросът е, че тялото трябва да се разгъне до равнинна фигура.

s.karakoleva · Пуснато на: Tue Jul 21, 2009 10:08 am Заглавие:

Сега след като Март ни показа решението в случая, когато мухата пълзи по цилиндричната стъкленица, можем да разгледаме и другия случай: Мухата вижда капката мед през стъклото, пълзи по посока на капката до точка К и оттам нататък "литва".

martosss · Пуснато на: Tue Jul 21, 2009 10:38 am Заглавие:

Тогава не е ли вярно решението на пацул?

s.karakoleva · Пуснато на: Tue Jul 21, 2009 3:35 pm Заглавие:

martosss · Пуснато на: Tue Jul 21, 2009 9:55 pm Заглавие:

А ми ако си представим че медът е както в моето решение симетрично относно С, тогава пътят до медът се запазва, а притегателната сила се променя, и то в полза на станислав Wink

dgs

Муха (2-ра серия)
-------------------
(copy/paste)
Между два съседни града А и Б лети муха.
Траекторията й е гладка (за по-просто: диференцируема) линия.
В нито една точка допирателната към тази траектория не е успоредна на отсечката АБ.
Възможно ли е това?
--------------------

Тук трябва да отбележа, че никак не ми допада новата подредба на разделите и форумите. Така както е подредено сега, изглежда, че в "ЗАБАВНА МАТЕМАТИКА" трябва да се публикуват забавни задачи само за ученици. Което слага някаква невидима морална бариера пред мен като решаващ и забавляващ се, защото съм на доста по-голяма (за съжаление) възраст.

Нещо повече, ако някой нов посетител прочете някои стари задачи ("стари" - преди преподреждането на разделите), с пълно основание може да си зададе въпроса "Абе кви са тия идиотски задачи тук?"

martosss · Пуснато на: Wed Nov 11, 2009 11:42 pm Заглавие:

Еми чисто и просто мухата не трябва да прави /\/, демек трябва или само да се изкачва(достатъчно бавно), или само да слиза. Примерно лети така, че за разстоянието от А до В се "снижава" с 1м, но постоянно, така че допирателната да не е успоредна на АВ. Confused

dgs · Пуснато на: Thu Nov 12, 2009 12:24 am Заглавие:

Аааъъъ !
не съм съгласен.
Има една теорема на Коши, която казва точно обратното на твойто.

Дай друга версия !

dgs · Пуснато на: Sat Nov 14, 2009 1:18 am Заглавие:

Между два съседни града А и Б лети муха.
Траекторията й е гладка (за по-просто: диференцируема) линия.
В нито една точка допирателната към тази траектория не е успоредна на отсечката АБ.
Възможно ли е това?

-------------------------------------------------------
Неочаквано голяма пауза се получи тук ?!?

Добре, хайде да преформулираме задачата така - съседните градове са Варна и Бургас, а останалия текст в условието не се променя.

Пафнутий · Пуснато на: Sat Nov 14, 2009 11:07 am Заглавие:

Да допуснем, че е възможно. Избираме такава координатна с-ма, че абсцисната ос да съдържа отсечката [tex]AB[/tex]. Тогава, ако [tex]f(x):[A,B]\rightarrow \mathbb{R}[/tex] ни е функция на времето, чиято графика е пътя, то [tex]f'(x)[/tex] не трябва да е нула, но [tex]f(x)[/tex] е непрекъсната, т.е [tex]f'(x)[/tex] също. Следователно [tex]f'(x)[/tex] е само положителна или само отрицателна, т.е [tex]f(x)[/tex] е монотонно растяща/намаляваща в интервала [tex][A,B][/tex] и има максимално 1 пресечна точка с абсцисната ос, но това противоречи на факта, че тя минава и през [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex], откъдето допускането ни е грешно и следователно не е възможно.
ПП Пишете, ако има някакви неточности.

Baronov · Пуснато на: Sat Nov 14, 2009 5:55 pm Заглавие:

http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_value_theorem#Cauchy.27s_mean_value_theorem

dgs · Пуснато на: Sat Nov 14, 2009 10:54 pm Заглавие:

Други идеи ?

---------------------
Преди няколко години попаднах на тази задача. И естествено се издъних. И се плеснах по-челото "я какъв съм бил такъв стереотипен в мисленето". Тогава за себе си я нарекох "капан за знаещи".
Аз не съм от най-знаещите, но също паднах в капана. Просто, това което знаех по въпроса, ме ограничаваше в някаква рамка от която не можех да изляза за да видя решението. ... А задачата наистина има решение (всъщност има много решения).

Така като се замисля, струва ми се, че един ученик-единадесетокласник по-лесно ще стигне до решението отколкото един студент-третокурсник. В смисъл, че познанията по анализ само пречат в случая ... за разлика от познанията по геометрия.

mkmarinov · Пуснато на: Sat Nov 14, 2009 11:40 pm Заглавие:

Разбира се, че е възможно - никой не ограничава мухата да се движи постоянно в една и съща равнина.

dgs · Пуснато на: Sun Nov 15, 2009 1:15 pm Заглавие:

Точно така.

Ама "стереотипно" мислещите (и аз съм в кюпа), не се сещат навреме, че мухата може да лети в три измерения ... за разлика от "терцотипно" мислещите ... още ме е яд, че се провалих навремето с тази задача.

-------------------------------------
стереотипен
стереотипна, стереотипно, мн. стереотипни, прил.
1. Който е отпечатан със стереотип.
2. Прен. Който показва липса на оригиналност; шаблонен, банален, ограничен. Стереотипно мислене.
3. Прен. Който е в резултат на изграден стереотип. Стереотипно поведение.
? нареч. стереотипно.
? същ. стереотипност, стереотипността, ж. (във 2 знач. ).