Тригонометрични неравенства

[Spider Iovkov]

Задача 1. Да се докаже, че ако [tex]0<\alpha<\pi[/tex], то [tex]\cot{\frac{\alpha}{2}}\ge 1+\cot\alpha[/tex].

Задача 2. Да се докаже, че ако [tex]\alpha+\beta=60^\circ, \, \alpha>0, \, \beta>0[/tex], то [tex]\tan\alpha \tan\beta \le \frac{1}{3}[/tex].

[Реклама]

[naitsirk]

[tex]cotg\frac{\alpha }{2 }\ge 1+cotg\alpha [/tex] <=> [tex]cotg\frac{\alpha }{2 }-cotg\alpha \ge 1 [/tex] <=> [tex]\frac{sin(\frac{\alpha }{2 }) }{sin(\frac{\alpha }{2 }).sin\alpha }\ge 1 [/tex] <=> [tex]\frac{1}{sin\alpha }\ge 1 [/tex], но [tex]0<\alpha <\pi [/tex] => [tex]sin\alpha >0[/tex] => горното равенство е еквивалентно на [tex]sin\alpha \le 1[/tex], което е изпълнено.

[Spider Iovkov]

Правилно, naitsirk. А за първото неравенство?

[naitsirk]

предполагам имаше предвид 2-роро нравенство
Имайки предвид, че [tex]tg(\alpha +\beta )=\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg.tg\beta } [/tex] получаваме, че [tex]tg\alpha .tg\alpha =1-\frac{tg\alpha +tg\beta }{tg(\alpha +\beta ) }=1-\frac{tg\alpha +tg\beta }{\sqrt{3} } [/tex]. Заместваме в исканото неравенство и имаме:
[tex]1-\frac{tg\alpha +tg\beta }{\sqrt{3} }\le \frac{1}{3 } [/tex] умножаваме 2-те страни на неравентвото с 3 и получаваме [tex]2\ge \sqrt{3}(tg\alpha +tg\beta ) [/tex] и сега изполваме, че [tex]tg\alpha +tg\beta =\frac{sin(\alpha +\beta )}{cos\alpha .cos\beta }=\frac{\sqrt{3} }{2.cos\alpha .cos\beta } [/tex] и след заместване в неравенството получаваме:
[tex]\frac{1}{cos\alpha .cos\beta }\ge\frac{4}{3 } [/tex] имайки предид, че [tex]\alpha +\beta =60^\circ [/tex] и, че [tex]\alpha>0,\beta >0[/tex] => [tex]\alpha ,\beta \in (0^\circ ,60^\circ )[/tex] => косинусите им са положителни и можем да се освободим от знаменател и получаваме аналогичното неравенство: [tex]cos\alpha .cos\beta \le \frac{3}{4 } [/tex] прилагайки формулата за произведение на косинуси имаме:
[tex]cos(\alpha -\beta )+cos(\alpha +\beta )\le \frac{3}{2 } [/tex] и след като заместим [tex]cos(\alpha +\beta )=cos60^\circ =\frac{1}{2 } [/tex] получаваме, че първоначалното уравнение е аналгочно на: [tex]cos(\alpha -\beta )\le 1[/tex] което е изпълнено

[martosss]

Това ми се струва много сложно!
Ето аз какво правя:
[tex]\be = 60^\circ -\alp\Right\\\frac{\sin\alp \sin (60 ^\circ-\alp)}{\cos\alp \cos (60^\circ-\alp)}\le \frac{1}{3}\\\frac{\frac{1}{2}\left[cos(2\alp-60^\circ )-\cos 60^\circ\right]}{\frac{1}{2}\left[\cos (2\alp -60^\circ ) +\cos 60^\circ \right]}\le \frac{1}{3}\\1-\frac{1}{\cos (2\alp -60^\circ ) +\frac{1}{2}}\le \frac{1}{3}\\\frac{2(1-cos (2\alp -60^\circ )}{cos(2\alp -60^\circ )+\frac{1}{2}}\ge 0[/tex]
Сега числителят е винаги неотрицателен, а пък тъй като [tex]\alp\in (0^\circ\: ;\: 60^\circ )[/tex], то [tex]cos(2\alp -60^\circ )\in (-\frac{1}{2}\: ;\: 1)[/tex], то знаменателят е положителен, с което задачата е решена

[Saposto_MM]

И трето решение:
След като сме преобразували с тъждеството [tex]\tan\left(x\right)\tan\left(y\right)=1-\frac{\tan\left(x\right)+\tan\left(y\right)}{\tan\left(x+y\right)}[/tex] до [tex]\sqrt{3}\left(\tan\left(x\right)+\tan\left(y\right)\right) \ge 2[/tex], прилагаме неравенството на Йенсен. Функцията [tex]\tan\left(x\right)[/tex] е изпъкнала в интервала [tex]\left(0^{\circ},60^{\circ}\right)[/tex], значи [tex]\tan\left(x\right)+\tan\left(y\right)\ge 2\tan\left(\frac{x+y}{2}\right)=2\tan\left(\frac{60}{2}\right)=2\frac{sqrt{3}}{3}[/tex].
Това беше пример как не трябва да се решава, но все пак едно приложение на неравенството на Йенсен.