Задачки - закачки.

[NetGh0st]

1. Да се реши системата

| x+y+z=a
|[tex]\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}[/tex]
|xz+zy+xy=-2

2.Да се реши системата:

| x + y = a
| [tex]\sqrt{y-\sqrt{y-x} } =x[/tex]

, където а е реален параметър.

3. За кои стойности на параметъра а системата
|[tex]sin(\pi.x)=0[/tex]
|(2x+14a²-7)(4x-4a²-15)≤0

има единствено решение?

4. За кои стойности на параметъра а системата
|x-by+az²=0
|2bx+(b-6)y-8z=8
има решени за всяка стойност на b ?

[Реклама]

[krainik]

Не искам да развалям кефа на кандидатстващите и затова за първата система ще дам един хинт, а не решение. Какво следва от първите 2 уравнения

[NetGh0st]

На първата система, аз получавам

|x=[tex]\sqrt{2}[/tex]
|y=[tex]-\sqrt{2}[/tex]
|z=z
|a=a

или при разменени стойности на x,y. Също така, ако вземем x=[tex]\sqrt{2}[/tex], z=[tex]-\sqrt{2}[/tex] (или обратното), то y=a { R.

т.е. Ако две от x,y,z са [tex]\sqrt{2}[/tex] и -[tex]\sqrt{2}[/tex], то третото е равно на а. И всяка наредена двойка (третото, а) заедно с [tex]\sqrt{2}[/tex] [tex]-\sqrt{2}[/tex] удовлетворяват системата.
... и дотам.

На 3-тата задача:
sinpx=0; px=kp, x=k, x{ Z
т.е. второто неравенство трябва да има 1 решение в цели числа.
Тъй като то ще бъде между корените, то

1≤|x₁ - x₂|<2, а x₁ и x₂ са изразяват чрез a, и оттам излиза някакъв интервал ... аз получавам
a{ [tex]-\frac{7 }{\sqrt{32} } ; -\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{32} } U \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{32} } ; \frac{7}{\sqrt{32} } [/tex]

[krainik]

Правилно си се усетил, че едно от числата е равно на [tex]a[/tex], но малко си претупал нещата с тва [tex]y=y[/tex] и [tex]a=a[/tex].

[NetGh0st]

На втората получавам ... осем наредени двойки решения!

[martosss]

аз пък получих само 2, в момента обработвам ДС

[NetGh0st]

[martosss]

получих при [tex]a\in (-\infty\: ;\: 1)\Right x,y\in \N 0[/tex]
при [tex]a\in [1\: ;\: 2]\Right \begin{tabular}{|1}x_1=\sqrt {a+1}-1\\y_1=a+1-\sqrt {a+1}\end{tabular}\cup \begin{tabular}{|1}x_2=\sqrt{a-1}\\y_2=a-\sqrt{a-1}\end{tabular}[/tex]
а при [tex]a\in (2\: ;\: +\infty) \Right\begin{tabular}{|1}x_1=\sqrt {a+1}-1\\y_1=a+1-\sqrt {a+1}\end{tabular}[/tex]

[_sssss]

4. a=0?

[tex]\normal by=x-az^2 \\ y=0; \; x-az^2=0 \\ bx=4+4z \\ x=0; \; 4+4z=0[/tex]

[tex]\normal a=0 \Rightarrow (0; \; 0;-1)[/tex] за [tex]\normal \forall b[/tex]

Не знам дали точно това се иска, какво мислите?

[_sssss]

На трета мисля, че [tex]\normal \, 1\le|x_1 -x_2|<2\, [/tex] гарантира присъствието на едно цяло число(или 2), но не е задължително! Може и [tex]\normal |x_1 - x_2|<1[/tex]

Давам пример: [tex]\normal 5,7<6 < 6,3[/tex]

[tex]\normal x_1<x_2 \\ \; \\ min \; x_2=x_2(0)=3,75 \\ max \; x_1=x_1(0)=3,5[/tex]

Цялото число м/у корените ще е или 3, или 4, защото искаме да е и единствено.

[tex]\normal \begin{tabular}{||}f(3)\le0\\f(4)>0\\f(2)>0\end{tabular} \; \cup \; \begin{tabular}{||}f(4)\le0\\f(5)>0\\f(3)>0\end{tabular}[/tex]