Функционално уравнение

[Saposto_MM]

Намерете всички функции [tex]f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}[/tex], такива че за всички [tex]x,y\in\mathbb{Q}[/tex]:
[tex]f\left(x+y\right)+f\left(x-y\right)=2\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right)[/tex].

[Реклама]

[martin.nikolov]

Нека [tex]x=0, y=0[/tex], тогава [tex]f(0)=0[/tex].

Нека [tex]x=y[/tex], получаваме [tex]f(2y)=4f(y)[/tex].

По индукция, полагайки [tex]x=(n-1)y[/tex], се получава [tex] f(ny)=n^2f(y)[/tex].

Нека [tex]f(1)=a[/tex].

От горното е ясно, че за всяко цяло [tex]n[/tex] имаме [tex]f(n)=an^2[/tex].

Нека [tex]r=\frac pq[/tex] е рационално. Тогава [tex]ap^2=f(p)=f(qr)=q^2f(r)[/tex] следователно [tex]f(r)=a\frac{p^2}{q^2}=ar^2[/tex].

Т.е. [tex]f(x)=ax^2[/tex].

[Saposto_MM]

И константната функция [tex]f\equiv 0[/tex] мисля, че също трябва да се отбележи, че е решение. Това е тривиално, но все пак.

[martin.nikolov]