Регистрирайте сеРегистрирайте се

Функционално уравнение


 
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sat Jul 18, 2009 5:31 pm    Заглавие: Функционално уравнение

Намерете всички функции [tex]f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}[/tex], такива че за всички [tex]x,y\in\mathbb{Q}[/tex]:
[tex]f\left(x+y\right)+f\left(x-y\right)=2\left(f\left(x\right)+f\left(y\right)\right)[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Sat Jul 18, 2009 10:07 pm    Заглавие:

Нека [tex]x=0, y=0[/tex], тогава [tex]f(0)=0[/tex].

Нека [tex]x=y[/tex], получаваме [tex]f(2y)=4f(y)[/tex].

По индукция, полагайки [tex]x=(n-1)y[/tex], се получава [tex] f(ny)=n^2f(y)[/tex].

Нека [tex]f(1)=a[/tex].

От горното е ясно, че за всяко цяло [tex]n[/tex] имаме [tex]f(n)=an^2[/tex].

Нека [tex]r=\frac pq[/tex] е рационално. Тогава [tex]ap^2=f(p)=f(qr)=q^2f(r)[/tex] следователно [tex]f(r)=a\frac{p^2}{q^2}=ar^2[/tex].

Т.е. [tex]f(x)=ax^2[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Saposto_MM
Напреднал


Регистриран на: 02 Apr 2007
Мнения: 383
Местожителство: Панагюрище
Репутация: 124.4
гласове: 67

МнениеПуснато на: Sun Jul 19, 2009 3:44 pm    Заглавие:

И константната функция [tex]f\equiv 0[/tex] мисля, че също трябва да се отбележи, че е решение. Това е тривиално, но все пак.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
martin.nikolov
Напреднал


Регистриран на: 22 Apr 2009
Мнения: 489

Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5Репутация: 35.5
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jul 20, 2009 3:11 am    Заглавие:

MM написа:
И константната функция [tex]f\equiv 0[/tex] мисля, че също трябва да се отбележи, че е решение. Това е тривиално, но все пак.


Включено е, когато [tex]a=0[/tex] фунцията е [tex]f(x)=ax^2=0[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Олимпиади и състезания за 9-12 клас Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2020 math10.com.