<AHF=<BGF

[inimitably]

Даден е изпъкнал четириъгълник [tex]ABCD[/tex] и [tex]AD=BC[/tex].Нека [tex]E,F[/tex] са среди съответно на [tex]CD,AB[/tex].Ако [tex]AD\cap EF=H,BC\cap FE=G[/tex].Докажете,че [tex]\angle AHF=\angle BGF[/tex].

[Реклама]

[martosss]

Означаваме [tex]AD=BC=k[/tex]
От Менелай за ▲DCI и EF получаваме
[tex]\N{\frac{DE}{EC}}\frac{CG}{GI}\frac{IH}{DH}=1\Right \frac{IH}{IG}=\frac{DH}{CG}\;\;\left(1\right)[/tex]
Аналогично за ▲ABI и EF имаме
[tex]\N{\frac{AF}{FB}}\frac{BG}{IG}\frac{IH}{AH}=1\Right \frac{IH}{IG}=\frac{AH}{BG}=\frac{DH+k}{CG+k}\;\;\left(2\right)[/tex]
От (1) и (2) имаме
[tex]\frac{DH}{CG}=\frac{DH+k}{CG+k}=\frac{IH}{CG}\\\N {DH*CG}+kDH=\N {DH*CG}+kCG\\DH=CG[/tex]

Остана да съобразим, че [tex]\frac{IH}{IG}=\frac{DH}{CG}=1\Right IH=IG \Right \angle IHG=\angle IGH=\angle FGB[/tex]

[ins-]

Много добра задача. Напомня ми за задача 3 от областния кръг на НОМ през 1998 г.
Откъде е взета и кой е автора й?

[inimitably]

Потърсете в този линк : http://www.math.ust.hk/excalibur/
Не си спомням , обаче от кой точно брой беше . Автор не мисля , че беше посочен.