Интересно свойство

[inimitably]

Нека [tex]ABCD[/tex] е вписан четириъгълник и [tex]I_a,I_b,I_c,I_d[/tex] са центрове на вписаните окръжности съответно в [tex]\triangle BCD,\triangle ACD,\triangle ABD,\triangle ABC[/tex].Докажете , че [tex]I_a,I_b,I_c,I_d[/tex] лежат на една окръжност.

[Реклама]

[ганка симеонова]

Ще докажем, че четириъгълникът, получен от центровете на вписаните окръжности е правоъгълник=> е вписан.
Според означенията на ъглите от чертежа=>
[tex]\angle AI_cB=\angle AI_dB=90^\circ +\frac{\alpha }{2 } =>AI_cI_dB-[/tex]вписан=>
[tex]\angle I_cAB=180^\circ -(\angle AI_cB+\angle ABI_c)=90^\circ -\frac{\alpha }{2 } -\frac{\gamma }{ 2}=>\angle I_cI_dB=90^\circ +\frac{\alpha }{2 } +\frac{\gamma }{ 2} [/tex]
Аналогично от [tex]BI_dI_aC=>\angle BI_dI_a=90^\circ +\frac{\beta }{2 } +\frac{\delta }{ 2} [/tex]
=>[tex]\angle I_cI_dI_a=360^\circ -180^\circ -(\frac{\alpha }{2 } +\frac{\gamma }{ 2} +\frac{\beta }{2 } +\frac{\delta }{ 2})=90^\circ [/tex]
Аналогично и за останалите ъгли получаваме, че са прави=> четириъгълникът е правоъгълник.