30 и 33-тата производна в 0

[complex]

Не мога да се спрява със следните задача:
Пресметнете 30 и 33 производна в 0 на:
f(x)=4x⁵sin(3x⁴)
T.e. f⁽³⁰⁾(0) = ? и f⁽³³⁾(0) = ?.

Имам идея за решаването и и то е, развивам sinx по Тейлър и след това пиша: Тъй като 30 е четно число производната в тази точка е 0. 33-та производна е: 4x⁵x³³/33!

Но изобщо не съм сигурен дали е вярно.

[Реклама]

[xyz]

Много правилно стартираш, но забравяш че освен диференцирането, то трябва и да изчислиш производната: [tex](4x^5.x^{28}/28!)^{(33)}[/tex]. Не мисля, че това ще ти е проблем. Междо другото май забравих един минус, или по-точно съвсем оплетох нещата. Ще се окаже, че 30-тата производна ще ти е ненулева, а 33 обратно - ще е нулева. Гледай и знакът да не сбъркаш...
В крайна сметка се търси число като отговор, а не полином...

[gdimkov]

Без да изпадам вподробнодсти, имаме

[tex]f(x)=a_9x^9+a_{17}x^{17}+a_{25}x^{25}+\cdots[/tex]

Тогава
[tex]f'(0)=f"(0)=\cdots =f^{(}(0)=0.[/tex]

[tex]f^{(9)}(0)\ne 0[/tex]

Оттук заключаваме, че 17-та, 25-та, 33-та и т.н. производдна е различна от 0 за х=0.
Всички останали са нули.
(На средния ред има някакви излишни символи, които не мога да премахна.)

[martosss]