Технически Колеж - 24.08.2005г.

[DevilFighter]

Дадена е функцията f(x) = [ (x² - x - 2)*√(1 - 6x + 9x²) ] / (3x - 1)
Да се намерят ст-те на а,за които уравнението f(x) = a има единствен реален корен.

[Реклама]

[uktc]

Не е сложна задачата, ама ме мързи да изписвам решението...
Забеляза ли, че √(1 - 6x + 9x^2)=|3x-1| ?
Ако не се справиш сам, кажи.

[DevilFighter]

Да това го забелязах,но нещо не получавам отговорите.Ето моето решение:
f(x) = [ (x² - x - 2)*|3x - 1| ] / (3x - 1) = a
I случай :
x E (-∞ ; 1/3)
x<1/3 => 3x - 1 < 0 => |3x-1| = -(3x-1) = 1-3x
[ (x² - x - 2)*(1-3x) ] / (1-3x) = -a
x² - x - 2 = -a като x ≠ 1/3
x² - x + a - 2 = 0
1ви вариант:
Нека D = 0 => 9 - 4a = 0 => a = 9/4
x = 1/2 което не принадлежи на ДС => това не е решение.
2ри вариант:
Нека D > 0 и x1 > 1/3 и x2 < 1/3 ,така ще имаме само един реален корен в интервала (-∞ ; 1/3)
Съставям следната система :
|D>0
|a.f(1/3) < 0

|9 - 4a > 0
|9a - 20 < 0

|a < 9/4
|a < 20/9

II случай :
x E (1/3 ; +∞)
x>1/3 => 3x - 1 > 0 => |3x-1| = 3x - 1

[ (x² - x - 2)*(3x-1) ] / (3x-1) = a
(x² - x - 2) = a като x ≠ 1/3
x² - x - (а+2) = 0
1ви вариант:
Нека D=0 => 4a + 9 =0 => a= - 9/4
x = 1/2 което принадлежи в интервала (1/3 ; +∞)
2ри вариант:
Нека D>0 и x1>1/3 , x2<1/3 =>
|D>0
|a.f(1/3) < 0

|4a + 9 > 0
|-9a - 20 < 0 => 9a + 20 > 0

|a> -9/4
|a> -20/9

Като обединя решенията получавам а Е (-20/9 ; 20/9 ) U {-9/4}
Дадения отговор е : а Е ( -∞ ; -9/4 ) U [ 20/9 ; +∞ )