Скакалци

[dgs]

(copy/paste + малко импровизация)

Хванах си 3 скакалеца и ги поставих в три от върховете на квадрат
Скакалците почнаха да играят на прескочи-кобила по следния начин:
скакалецът скача, преминава над друг скакалец и се приземява по права линия на същото разстояние от другия скакалец, на което се е намирал преди скока.
Ще може ли някога някой скакалец да попадне в четвъртия връх на квадрата?

Можем да считаме, че квадрата е със страна около 20 см и е нарисуван върху безкрайно голяма и перфектно окосена ливада.

[Реклама]

[Deli1]

ДА

[dgs]

А защо ДА ?

[Deli1]

ЕТО

[Deli1]

E? Чертежа не е много точен.

[dgs]

Ами доста е крив.
Ако го поизправим малко дали наистина ще се стигне до четвъртия връх ? ... Хайде да го провериш пак !?

Тая задача я пуснах малко набързо (в Лична Кореспонденция със съфорумец стана въпрос, че в момента се пише интензивно в раздела и дали мога да пусна някоя задача за да продължим инерцията), та не съм догледал добре условието.

Предлагам да го променим за известно време така (уж за да е по-лесно, пък после да се върнем на първоначалния вариант)
1. Посоките в които скачат скакалците са успоредни на страните на квадрата, т.е. (засега) те не могат да скачат по диагонал.
2. Скакалеца прави винаги скок с дължина два пъти страната на квадрата, независимо дали пред него има "кобила" или няма.

[Deli1]

Би трябвало да стане,защото се получават еднакви квадрати навсякъде!

[dgs]

Да де, ама на чертежа еднакви ли са ?
Тоя синия връх най-горе, не трябва ли да е доста по-надясно ?

[Deli1]

Е,сега,направи ти чертеж по моята идея!Хайде като си мераклия!

[krainik]

И какъв е смисълът да се прави чертеж по твоята идея, след като тя не решава задачата? Да не мислиш, че dgs просто си ги пише тези глупости, за да се заяжда?

[martosss]

[dgs]

[Deli1]

От 9 през 8 и хоп...[/b]

[dgs]

... и хоп, ама не можеш да уцелиш "празния" връх !?

[martosss]

[Deli1]

[martosss]

Може ли малко да разясните тази снимка, че не мога да разбера къде са скакалците в началото и как скачат.

[dgs]

Тая картинка е по първоначлната идея на Deli1.
В началото, скакалците са разположени по върховете на черния квадрат, като горния десен ъгъл е празен.
Обаче Deli1 упорито ... се обърква.

А по самата задача - малко разяснения:
Предложих да променим условието, като си мисля, че с промененото условие ще е по-лесно да намерим първо някакво достатъчно добро и логично обяснение/решение "защо може или не може", после това обяснение/решение да го формализираме чисто математически и след това да обобщим математическото доказателство и за първоначалната задача.
Това разбира се е само предложение - на кой като му е най-удобно, така да го решава, но все пак нека да се има предвид, че крайната цел е първоначалната задача, при която скакалците винаги могат да се прескачат , независимо колко далеч са един от друг и независимо дали са на "една линия" или на някакъв "диагонал".

[Deli1]

ЕТО

[Deli1]

[martosss]

Отговорът е, че не може, но не знам защо. Поне за "лесния" случай на dgs мога да го обясня:
Ако си въведем координатна система с начало четвъртия връх и квадратът има страна 1, то всеки скакалец има или абсциза нечетно число, или ордината нечетно число, или и двете. Тъй като според допълнителното условие на dgs скакалците се движат само с 2 нагоре или надолу или настрани, то те променят координатите си с четно число. Понеже тръгват от нечетна координата, те никога няма да стигнат до четна координата, защото [tex](2p+1)+q*2\ne 2r,\;\;\;\;\; p,q,r\in Z[/tex]

[dgs]

Това разсъждение не можеш ли да го поусложниш малко и за първоначалния вариант ?
Ето, да кажем, че скакалец1 има текущи координати (x1, y1) и се е засилил да прескача скакалец2, който пък е някъде на ливадата с текущи координати (x2, y2) ...

ПП. Като че ли малко машинално правиш аналогия с шахматната дъска при бръмбарите. (Не че не става, ама е далеч по-трудно за обясняване). Там за един бръмбар с координати (x,y) дали е на черно или бяло поле гледахме дали стойността на функцията е четна
F(бръмбара)=x+y или F(x,y)=(x+y) mod 2
Тук обаче ако ще правим подобна шахматнатна дъска, два цвята няма да ни стигнат. И съответно ще гледаме малко по-сложна функция.

[dgs]

Е хайде пък ти сега, чак пък идея да нямаш ?
Какви ще бъдат координатите на скакалец1 след скока, изразени чрез координатите на скакалец1 преди скока и координатите на скакалец2 ?

ПП. Ама къде ти изчезна поста

[martosss]

ами новите координати (x3,y3) би трябвало да имат стойности (2x2-x1, 2y2-y1)

П.П. Поста го изтрих, защото се усетих как става

[dgs]

Да, ама леко си объркал ... но си на прав път де

[martosss]

да, гледах само 0<x1<x2 и 0<x2<x1, а то има и други варианти

[dgs]

Виждам, че те затруднява, затова направо да кажа, че без значение дали x1 е по-голямо или по-малко от x2, то новите координати са (x1+2(x2-x1), y1+2(y2-y1))

[martosss]

ми значи правилно съм го написал де, какво ме базикаш? Въпросът е какво следва по-нататък...

[dgs]

Хайде сега и ти почна като Deli1.
Ми виж кво точно си написал

Предлагам да продължим утре

ПП
Опааа, май не мога да разкривам скоби, извинявай, ... ми спи ми се вече

[martosss]

Добре, убедихме се, че мислим еднакво, сега какво? Май ще спим? И на мен ми се спи, така че утре ще го мислим/я.