Помогнете за една задачка

[divine]

Да се намерят всички цели стойности на n, за които изразът K= (n³ + 17n² + 65n + 8 )/(n+5) е цяло число

[Реклама]

[Tony_89]

( n³ + 17*n² + 65*n + 8 )/(n + 5) =

= ( n³ + 5*n² + 13*n² + 65*n - n² + 8 )/(n + 5) =

= (n²*(n + 5) + 13*n*(n + 5) + 8 - n²)/(n + 5) =

= ((n + 5)*(n² + 13*n) + 8 - n²)/(n + 5) =

= n² + 13*n + (8 - n²)/(n + 5) =>

= ( n³ + 17*n² + 65*n + 8 )/(n + 5) E Z когато (8 - n²)/(n + 5) E Z

Нека n + 5 = u
n = u - 5

8 - n² = 8 - (u - 5)² = 8 - u² + 10*u - 25 = -u² + 10*u - 17 =>

=> (8 - n²)/(n + 5) = (-u² + 10*u - 17)/u = -u + 10 - 17/u =>

=> 17/u E Z =>
=> u = ±17
n + 5 = ±17
n₁ = -22
n₂ = 12

[Tony_89]

Има и по-прост начин де

(8 - n²)/(n + 5) = (25 - n² - 17)/(n + 5) =

= ((5 - n)*(5 + n) - 17)/(n + 5) = 5 - n - 17/(n + 5)