Интересна задачка

[divine]

Всеки от двата съда А и В има обем 5 литра. В съд А има разтвор от 3 литра вода и 2 литра спирт, а в съд В има 3 литра вода.
"Пълно преливане" наричаме преливането на 2 литра разтвор от съд А в съд В и връщането след това на 2 литра разтвор от съд В в съд А.
С a_n ознавачаме количеството на водата в съд А след n-тото преливане.
Докажете, че:
а) a_n = 12/5 + 9/25*a_n-1 , където n е естествено число;
б) редицата а₀ = 3, a₁, a₂, ...., a_n, .... е сходяща и намерете границата й.

[Реклама]

[Nona]

Тази задча са падна днес на Общинския кръг на олимпиадата по математика за 11 клас. Някой може ли да каже какъв е отговорът на б), за да знам дали съм я решила правилно?

[divine]

И аз все още не съм успяла да я реша

[M_Velinova]

Дайте а1, ще Ви кажа дали е вярно началото. Утре се надявам да публикуваме отговорите и решенията.

[Tony_89]

Ако не ме лъже паметта изкарах a₁ = 87/25

[M_Velinova]

tuk ima edno syob]enie- profilaktika!

[M_Velinova]

Toni- vqrno e!

[Tony_89]

Само че наистина ще е добре да публикуваме пълното решение на а) и б)

тъкмо ще си сверя с моите решения

[Nona]

Ето моето изключително глупаво (и предполагам - грешно) решение на б):
След всяко преливане количеството на водата в съд В ще намалява, следователно то ще се увеличава в съд А.
След n на брой преливания при n->+oo разтворите в двата съда ще бъдат с еднаква концентрация на вода като в един литър течност ще има 3/4 литра вода. Следователно количеството вода в съд А след n преливания ще бъде
a_n=5.(3/4)=3,75, което е и търсената граница.
Грешно е, нали?

[Nona]

Вярното решение:
http://nonaa.hit.bg/zada4a%20_4.doc